Múltiplos sistemas e estados reduzidos

Agora vamos voltar nossa atenção para como as matrizes densidade funcionam com múltiplos sistemas, incluindo exemplos de diferentes tipos de correlações que elas podem expressar e como podem ser usadas para descrever os estados de partes isoladas de sistemas compostos.

Múltiplos sistemas

As matrizes densidade podem representar estados de múltiplos sistemas de forma análoga aos vetores de estado na formulação simplificada da informação quântica, seguindo a mesma ideia básica de que múltiplos sistemas podem ser vistos como se fossem sistemas únicos e compostos. Em termos matemáticos, as linhas e colunas das matrizes densidade que representam estados de múltiplos sistemas são colocadas em correspondência com o produto cartesiano dos conjuntos de estados clássicos dos sistemas individuais.

Por exemplo, lembre-se das representações por vetor de estado dos quatro estados de Bell.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

As representações em matriz densidade desses estados são as seguintes.

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Estados produto

De forma análoga ao que vimos para vetores de estado, produtos tensoriais de matrizes densidade representam independência entre os estados de múltiplos sistemas. Por exemplo, se $\mathsf{X}$ é preparado no estado representado pela matriz densidade $\rho$ e $\mathsf{Y}$ é preparado independentemente no estado representado por $\sigma,$ então a matriz densidade que descreve o estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ é o produto tensorial $\rho\otimes\sigma.$

A mesma terminologia usada na formulação simplificada da informação quântica se aplica aqui: estados dessa forma são chamados de estados produto.

Estados correlacionados e emaranhados

Estados que não podem ser expressos como estados produto representam correlações entre sistemas. De fato, existem diferentes tipos de correlações que podem ser representadas por matrizes densidade. Veja alguns exemplos.

1. Estados clássicos correlacionados. Por exemplo, podemos expressar a situação em que Alice e Bob compartilham um bit aleatório assim:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. Conjuntos de estados quânticos. Suponha que temos $m$ matrizes densidade $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ todas representando estados de um sistema $\mathsf{X},$ e escolhemos aleatoriamente um desses estados de acordo com um vetor de probabilidade $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Esse processo é representado por um ensemble de estados, que inclui a especificação das matrizes densidade $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ bem como as probabilidades $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Podemos associar um ensemble de estados a uma única matriz densidade, descrevendo tanto a escolha aleatória de $k$ quanto a matriz densidade correspondente $\rho_k,$ assim:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   Para ser preciso, esse é o estado de um par $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ onde $\mathsf{Y}$ representa a seleção clássica de $k$ — ou seja, estamos assumindo que seu conjunto de estados clássicos é $\{0,\ldots,m-1\}.$ Estados dessa forma às vezes são chamados de estados clássico-quânticos.

3. Estados separáveis. Podemos imaginar situações em que existe uma correlação clássica entre os estados quânticos de dois sistemas assim:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   Em palavras, para cada $k$ de $0$ a $m-1,$ temos que com probabilidade $p_k$ o sistema à esquerda está no estado $\rho_k$ e o sistema à direita está no estado $\sigma_k.$ Estados como esses são chamados de estados separáveis. Esse conceito também pode ser estendido para mais de dois sistemas.

4. Estados emaranhados. Nem todos os estados de pares de sistemas são separáveis. Na formulação geral da informação quântica, é assim que o emaranhamento é definido: estados que não são separáveis são ditos emaranhados.

   Note que essa terminologia é consistente com a que usamos no curso "Básicos de informação quântica". Lá dissemos que vetores de estado quântico que não são estados produto representam estados emaranhados — e de fato, para qualquer vetor de estado quântico $\vert\psi\rangle$ que não é um estado produto, verificamos que o estado representado pela matriz densidade $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ não é separável. O emaranhamento é muito mais complexo do que isso para estados que não são puros.

Estados reduzidos e o traço parcial

Há algo simples, mas importante, que podemos fazer com matrizes de densidade no contexto de múltiplos sistemas: descrever os estados que obtemos ao ignorar alguns dos sistemas. Quando múltiplos sistemas estão em um estado quântico e descartamos ou escolhemos ignorar um ou mais deles, o estado dos sistemas restantes é chamado de estado reduzido desses sistemas. Descrições em matriz de densidade dos estados reduzidos são facilmente obtidas por meio de um mapeamento, conhecido como traço parcial, a partir da matriz de densidade que descreve o estado do todo.

Exemplo: estados reduzidos para um e-bit

Suponha que temos um par de qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ que juntos estão no estado

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

Podemos imaginar que Alice possui o qubit $\mathsf{A}$ e Bob possui o $\mathsf{B},$ ou seja, juntos eles compartilham um e-bit. Gostaríamos de ter uma descrição em matriz de densidade do qubit $\mathsf{A}$ de Alice de forma isolada, como se Bob decidisse pegar o qubit dele e viajar para as estrelas, sem nunca mais ser visto.

Primeiro, vamos pensar no que aconteceria se Bob decidisse, em algum ponto de sua jornada, medir seu qubit com uma medição na base padrão. Se fizesse isso, ele obteria o resultado $0$ com probabilidade

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

caso em que o estado do qubit de Alice se torna $\vert 0\rangle;$ e ele obteria o resultado $1$ com probabilidade

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

caso em que o estado do qubit de Alice se torna $\vert 1\rangle.$

Portanto, se ignorarmos o resultado da medição de Bob e nos concentrarmos no qubit de Alice, concluímos que ela obtém o estado $\vert 0\rangle$ com probabilidade $1/2$ e o estado $\vert 1\rangle$ com probabilidade $1/2.$ Isso nos leva a descrever o estado do qubit de Alice em isolamento pela matriz de densidade

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

Ou seja, o qubit de Alice está no estado completamente misto. Para ser claro, essa descrição do estado do qubit de Alice não inclui o resultado da medição de Bob; estamos ignorando Bob por completo.

Agora, pode parecer que a descrição em matriz de densidade do qubit de Alice em isolamento que acabamos de obter depende da suposição de que Bob mediu seu qubit, mas isso não é verdade. O que fizemos foi usar a possibilidade de que Bob meça seu qubit para argumentar que o estado completamente misto surge como o estado do qubit de Alice, com base no que já aprendemos. Claro, nada diz que Bob precisa medir seu qubit — mas nada diz que ele não faz isso. E se ele estiver a anos-luz de distância, então nada que ele faça ou deixe de fazer pode influenciar o estado do qubit de Alice visto em isolamento. Ou seja, a descrição que obtivemos para o estado do qubit de Alice é a única descrição consistente com a impossibilidade de comunicação mais rápida que a luz.

Podemos também considerar o estado do qubit $\mathsf{B}$ de Bob, que também acontece de ser o estado completamente misto. De fato, para todos os quatro estados de Bell, descobrimos que o estado reduzido tanto do qubit de Alice quanto do qubit de Bob é o estado completamente misto.

Estados reduzidos para um vetor de estado quântico geral

Agora vamos generalizar o exemplo recém-discutido para dois sistemas arbitrários $\mathsf{A}$ e $\mathsf{B},$ não necessariamente qubits no estado $\vert \phi^+\rangle.$ Vamos assumir que os conjuntos de estados clássicos de $\mathsf{A}$ e $\mathsf{B}$ são $\Sigma$ e $\Gamma,$ respectivamente. Uma matriz de densidade $\rho$ representando um estado do sistema combinado $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ portanto tem índices de linha e coluna correspondentes ao produto cartesiano $\Sigma\times\Gamma.$

Suponha que o estado de $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ é descrito pelo vetor de estado quântico $\vert\psi\rangle,$ de modo que a matriz de densidade descrevendo esse estado é $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ Vamos obter uma descrição em matriz de densidade do estado de $\mathsf{A}$ em isolamento, que convencionalmente é denotada $\rho_{\mathsf{A}}.$ (Às vezes também se usa um sobrescrito em vez de subscrito.)

O vetor de estado $\vert\psi\rangle$ pode ser expresso na forma

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

para uma coleção de vetores $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}$ determinada de forma única. Em particular, esses vetores podem ser determinados por uma fórmula simples.

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

Raciocinando de forma semelhante ao exemplo anterior do e-bit, se medíssemos o sistema $\mathsf{B}$ com uma medição na base padrão, obteríamos cada resultado $b\in\Gamma$ com probabilidade $\|\vert\phi_b\rangle\|^2,$ caso em que o estado de $\mathsf{A}$ se torna

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

Como matriz de densidade, esse estado pode ser escrito da seguinte forma.

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

Fazendo a média dos diferentes estados de acordo com as probabilidades dos respectivos resultados, chegamos à matriz de densidade

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

O traço parcial

A fórmula

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

nos leva à descrição do estado reduzido de $\mathsf{A}$ para qualquer matriz de densidade $\rho$ do par $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ não apenas para um estado puro.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

Essa fórmula deve funcionar, simplesmente por linearidade juntamente com o fato de que toda matriz de densidade pode ser escrita como uma combinação convexa de estados puros.

A operação realizada em $\rho$ para obter $\rho_{\mathsf{A}}$ nessa equação é conhecida como traço parcial, e para ser mais preciso dizemos que o traço parcial é realizado em $\mathsf{B},$ ou que $\mathsf{B}$ é traçado fora. Essa operação é denotada $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}},$ portanto podemos escrever

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

Também podemos definir o traço parcial em $\mathsf{A},$ de modo que é o sistema $\mathsf{A}$ que é traçado fora em vez de $\mathsf{B},$ assim.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

Isso nos dá a descrição em matriz de densidade $\rho_{\mathsf{B}}$ do estado de $\mathsf{B}$ em isolamento, em vez de $\mathsf{A}.$

Para recapitular, se $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ é qualquer par de sistemas e temos uma matriz de densidade $\rho$ descrevendo um estado de $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ os estados reduzidos dos sistemas $\mathsf{A}$ e $\mathsf{B}$ são os seguintes.

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

Se $\rho$ é uma matriz de densidade, então $\rho_{\mathsf{A}}$ e $\rho_{\mathsf{B}}$ também serão necessariamente matrizes de densidade.

Essas noções podem ser generalizadas para qualquer número de sistemas em lugar de dois de forma natural. Em geral, podemos colocar os nomes de quaisquer sistemas que escolhermos no subscrito de uma matriz de densidade $\rho$ para descrever o estado reduzido apenas desses sistemas. Por exemplo, se $\mathsf{A},$ $\mathsf{B}$ e $\mathsf{C}$ são sistemas e $\rho$ é uma matriz de densidade descrevendo um estado de $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ então podemos definir

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

e de forma semelhante para outras escolhas de sistemas.

Descrição alternativa do traço parcial

Uma forma alternativa de descrever os mapeamentos de traço parcial $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ e $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ é que eles são os únicos mapeamentos lineares que satisfazem as fórmulas

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

Nessas fórmulas, $N$ e $M$ são matrizes quadradas de tamanhos apropriados: as linhas e colunas de $M$ correspondem aos estados clássicos de $\mathsf{A}$ e as linhas e colunas de $N$ correspondem aos estados clássicos de $\mathsf{B}.$

Essa caracterização do traço parcial não é apenas fundamental do ponto de vista matemático, mas também pode permitir cálculos rápidos em algumas situações. Por exemplo, considere este estado de um par de qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B}).$

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

Para calcular o estado reduzido $\rho_{\mathsf{A}}$, por exemplo, podemos usar a linearidade junto com o fato de que $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ e $\vert +\rangle\langle +\vert$ têm traço unitário.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

O estado reduzido $\rho_{\mathsf{B}}$ pode ser calculado de forma semelhante.

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

O traço parcial para dois qubits

O traço parcial também pode ser descrito explicitamente em termos de matrizes. Aqui faremos isso apenas para dois qubits, mas isso também pode ser generalizado para sistemas maiores. Suponha que temos dois qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ de modo que qualquer matriz de densidade descrevendo um estado desses dois qubits pode ser escrita como

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

para alguma escolha de números complexos $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}.$

O traço parcial sobre o primeiro sistema tem a seguinte fórmula.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Uma forma de entender essa fórmula começa visualizando matrizes $4\times 4$ como matrizes de blocos $2\times 2,$ onde cada bloco é $2\times 2.$ Ou seja,

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

para

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

Temos então

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

Aqui está a fórmula quando o segundo sistema é traçado fora em vez do primeiro.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Em termos de matrizes de blocos de forma semelhante à anterior, temos esta fórmula.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

As descrições em matrizes de blocos dessas funções podem ser estendidas para sistemas maiores do que qubits de forma natural e direta.

Para encerrar a lição, vamos aplicar essas fórmulas ao mesmo estado que consideramos acima.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

O estado reduzido do primeiro sistema $\mathsf{A}$ é

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

e o estado reduzido do segundo sistema $\mathsf{B}$ é

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$