Fundamentos das matrizes de densidade

Vamos começar descrevendo o que são matrizes de densidade em termos matemáticos e, em seguida, vamos ver alguns exemplos. Depois disso, vamos discutir alguns aspectos básicos de como as matrizes de densidade funcionam e como elas se relacionam com os vetores de estado quântico na formulação simplificada da informação quântica.

Definição

Suponha que temos um sistema quântico chamado $\mathsf{X},$ e seja $\Sigma$ o conjunto de estados clássicos (finito e não vazio) desse sistema. Aqui estamos seguindo as convenções de nomenclatura usadas no curso "Fundamentos da informação quântica", que continuaremos a usar sempre que possível.

Na formulação geral da informação quântica, um estado quântico do sistema $\mathsf{X}$ é descrito por uma matriz de densidade $\rho$ cujas entradas são números complexos e cujos índices (tanto para as linhas quanto para as colunas) foram colocados em correspondência com o conjunto de estados clássicos $\Sigma.$ A letra grega minúscula $\rho$ é a primeira escolha convencional para o nome de uma matriz de densidade, embora $\sigma$ e $\xi$ também sejam escolhas comuns.

Aqui estão alguns exemplos de matrizes de densidade que descrevem estados de qubits:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Para que $\rho$ seja uma matriz de densidade, essas duas condições — que serão explicadas em breve — devem ser satisfeitas:

1. Traço unitário: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$
2. Semidefinição positiva: $\rho \geq 0.$

O traço de uma matriz

A primeira condição sobre matrizes de densidade refere-se ao traço de uma matriz. Essa é uma função definida, para todas as matrizes quadradas, como a soma das entradas da diagonal:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

O traço é uma função linear: para quaisquer duas matrizes quadradas $A$ e $B$ do mesmo tamanho, e quaisquer dois números complexos $\alpha$ e $\beta,$ a equação a seguir é sempre verdadeira.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

O traço é uma função extremamente importante e há muito mais que pode ser dito sobre ele, mas vamos esperar até que seja necessário para aprofundar o assunto.

Matrizes positivas semidefinidas

A segunda condição refere-se à propriedade de uma matriz ser positiva semidefinida, que é um conceito fundamental na teoria da informação quântica e em muitos outros campos. Uma matriz $P$ é positiva semidefinida se existe uma matriz $M$ tal que

$$P = M^{\dagger} M.$$

Aqui podemos tanto exigir que $M$ seja uma matriz quadrada do mesmo tamanho que $P$ quanto permitir que ela seja não quadrada — obtemos a mesma classe de matrizes em ambos os casos.

Existem várias formas alternativas (mas equivalentes) de definir essa condição, incluindo estas:

• Uma matriz $P$ é positiva semidefinida se e somente se $P$ é Hermitiana (isto é, igual à sua própria transposta conjugada) e todos os seus autovalores são números reais não negativos. Verificar que uma matriz é Hermitiana e que todos os seus autovalores são não negativos é uma forma computacional simples de confirmar que ela é positiva semidefinida.

• Uma matriz $P$ é positiva semidefinida se e somente se $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ para todo vetor complexo $\vert\psi\rangle$ com os mesmos índices que as linhas e colunas de $P.$

Uma maneira intuitiva de pensar sobre matrizes positivas semidefinidas é que elas são análogos matriciais dos números reais não negativos. Ou seja, matrizes positivas semidefinidas estão para matrizes quadradas complexas assim como números reais não negativos estão para números complexos. Por exemplo, um número complexo $\alpha$ é um número real não negativo se e somente se

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

para algum número complexo $\beta,$ o que corresponde à definição de semidefinição positiva quando substituímos matrizes por escalares. Embora matrizes sejam objetos mais complexos do que escalares em geral, essa é ainda uma forma útil de pensar sobre matrizes positivas semidefinidas.

Isso também explica a notação comum $P\geq 0,$ que indica que $P$ é positiva semidefinida. Note em particular que $P\geq 0$ não significa que cada entrada de $P$ é não negativa nesse contexto; existem matrizes positivas semidefinidas com entradas negativas, assim como matrizes cujas entradas são todas positivas que não são positivas semidefinidas.

Interpretação das matrizes de densidade

Neste ponto, a definição de matrizes de densidade pode parecer bastante arbitrária e abstrata, pois ainda não associamos nenhum significado a essas matrizes ou às suas entradas. A forma como as matrizes de densidade funcionam e podem ser interpretadas ficará mais clara conforme a aula avança, mas por ora pode ser útil pensar sobre as entradas das matrizes de densidade da seguinte forma (um tanto informal).

• As entradas diagonais de uma matriz de densidade nos fornecem as probabilidades de cada estado clássico aparecer se realizarmos uma medição na base padrão — portanto, podemos pensar nessas entradas como descrevendo o "peso" ou "probabilidade" associado a cada estado clássico.

• As entradas fora da diagonal de uma matriz de densidade descrevem o grau em que os dois estados clássicos correspondentes àquela entrada (ou seja, o correspondente à linha e o correspondente à coluna) estão em superposição quântica, bem como a fase relativa entre eles.

Certamente não é óbvio a priori que os estados quânticos devam ser representados por matrizes de densidade. De fato, há um sentido em que a escolha de representar estados quânticos por matrizes de densidade leva naturalmente a toda a descrição matemática da informação quântica. Tudo mais sobre informação quântica, na verdade, decorre de forma bastante lógica dessa única escolha!

Conexão com vetores de estado quântico

Lembre-se de que um vetor de estado quântico $\vert\psi\rangle$ que descreve um estado quântico de $\mathsf{X}$ é um vetor coluna com norma euclidiana igual a $1$ cujas entradas foram colocadas em correspondência com o conjunto de estados clássicos $\Sigma.$ A representação em matriz de densidade $\rho$ do mesmo estado é definida da seguinte forma.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

Para ser claro, estamos multiplicando um vetor coluna por um vetor linha, então o resultado é uma matriz quadrada cujas linhas e colunas correspondem a $\Sigma.$ Matrizes dessa forma, além de serem matrizes de densidade, são sempre projeções e têm posto igual a $1.$

Por exemplo, vamos definir dois vetores de estado de qubit.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

As matrizes de densidade correspondentes a esses dois vetores são as seguintes.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Aqui está uma tabela listando esses estados junto com alguns outros exemplos básicos: $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ e $\vert {-}\rangle.$ Veremos esses seis estados novamente mais adiante na aula.

Vetor de estado	Matriz de densidade
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Para mais um exemplo, aqui está um estado da aula Sistemas simples do curso "Fundamentos da informação quântica", incluindo tanto a representação pelo vetor de estado quanto pela matriz de densidade.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Matrizes de densidade que assumem a forma $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ para um vetor de estado quântico $\vert \psi \rangle$ são conhecidas como estados puros. Nem toda matriz de densidade pode ser escrita dessa forma; alguns estados não são puros.

Como matrizes de densidade, estados puros sempre têm um autovalor igual a $1$ e todos os outros autovalores iguais a $0.$ Isso é consistente com a interpretação de que os autovalores de uma matriz de densidade descrevem a aleatoriedade ou incerteza inerente àquele estado. Em essência, não há incerteza para um estado puro $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ — o estado é definitivamente $\vert \psi \rangle.$

Em geral, para um vetor de estado quântico

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

para um sistema com $n$ estados clássicos, a representação em matriz de densidade do mesmo estado é a seguinte.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Portanto, para o caso especial de estados puros, podemos verificar que as entradas diagonais de uma matriz de densidade descrevem as probabilidades de que uma medição na base padrão produza cada possível estado clássico.

Uma observação final sobre estados puros é que as matrizes de densidade eliminam a degenerescência relacionada às fases globais encontrada nos vetores de estado quântico. Suponha que temos dois vetores de estado quântico que diferem por uma fase global: $\vert \psi \rangle$ e $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle,$ para algum número real $\theta.$ Como diferem por uma fase global, esses vetores representam exatamente o mesmo estado quântico, apesar de os vetores poderem ser diferentes. As matrizes de densidade que obtemos desses dois vetores de estado, por outro lado, são idênticas.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

Em geral, as matrizes de densidade fornecem uma representação única dos estados quânticos: dois estados quânticos são idênticos, gerando exatamente as mesmas estatísticas de resultados para toda medição possível que possa ser realizada sobre eles, se e somente se suas representações em matriz de densidade forem iguais. Usando a linguagem matemática, podemos expressar isso dizendo que as matrizes de densidade oferecem uma representação fiel dos estados quânticos.