Esfera de Bloch

Existe uma forma geométrica útil de representar estados de qubits, conhecida como a esfera de Bloch. É muito conveniente, mas infelizmente só funciona para qubits — a representação análoga deixa de corresponder a um objeto esférico quando temos três ou mais estados clássicos no nosso sistema.

Estados de qubits como pontos em uma esfera

Vamos começar pensando em um vetor de estado quântico de um qubit: $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ Podemos restringir nossa atenção a vetores para os quais $\alpha$ é um número real não negativo, pois todo vetor de estado quântico de um qubit é equivalente, a menos de uma fase global, a um para o qual $\alpha \geq 0.$ Isso nos permite escrever

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

para dois números reais $\theta \in [0,\pi]$ e $\phi\in[0,2\pi).$ Aqui, permitimos que $\theta$ varie de $0$ a $\pi$ e dividimos por $2$ no argumento do seno e do cosseno porque essa é uma forma convencional de parametrizar vetores desse tipo, e tornará as coisas mais simples um pouco mais adiante.

Agora, não é bem o caso de que os números $\theta$ e $\phi$ sejam unicamente determinados por um dado vetor de estado quântico $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle,$ mas é quase isso. Em particular, se $\beta = 0,$ então $\theta = 0$ e não faz diferença qual valor $\phi$ assume, então ele pode ser escolhido arbitrariamente. Da mesma forma, se $\alpha = 0,$ então $\theta = \pi,$ e mais uma vez $\phi$ é irrelevante (pois nosso estado é equivalente a $e^{i\phi}\vert 1\rangle$ para qualquer $\phi$ a menos de uma fase global). Se, no entanto, nem $\alpha$ nem $\beta$ for zero, então há uma escolha única para o par $(\theta,\phi)$ para a qual $\vert\psi\rangle$ é equivalente a $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ a menos de uma fase global.

A seguir, vamos considerar a representação por matriz densidade desse estado.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

Podemos usar algumas identidades trigonométricas,

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

bem como a fórmula $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi),$ para simplificar a matriz densidade da seguinte forma.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

Isso torna fácil expressar essa matriz densidade como uma combinação linear das matrizes de Pauli:

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Especificamente, concluímos que

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

Os coeficientes de $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ e $\sigma_z$ no numerador dessa expressão são todos números reais, então podemos reuni-los para formar um vetor em um espaço euclidiano tridimensional ordinário.

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

Na verdade, esse é um vetor unitário. Usando coordenadas esféricas, ele pode ser escrito como $(1,\theta,\phi).$ A primeira coordenada, $1,$ representa o raio ou distância radial (que é sempre $1$ neste caso), $\theta$ representa o ângulo polar, e $\phi$ representa o ângulo azimutal.

Para entender melhor, pensando em uma esfera como o planeta Terra, o ângulo polar $\theta$ é o quanto rotacionamos para o sul a partir do polo norte para alcançar o ponto descrito, de $0$ a $\pi = 180^{\circ},$ enquanto o ângulo azimutal $\phi$ é o quanto rotacionamos para o leste a partir do meridiano principal, de $0$ a $2\pi = 360^{\circ}.$ Isso pressupõe que definimos o meridiano principal como a curva na superfície da esfera de um polo ao outro que passa pelo eixo $x$ positivo.

Todo ponto na esfera pode ser descrito dessa forma — o que significa que os pontos que obtemos ao variar sobre todos os estados puros possíveis de um qubit correspondem precisamente a uma esfera em $3$ dimensões reais. (Essa esfera é tipicamente chamada de $2$-esfera unitária porque a superfície dessa esfera é bidimensional.)

Quando associamos pontos na $2$-esfera unitária a estados puros de qubits, obtemos a representação pela esfera de Bloch desses estados.

Seis exemplos importantes

1. A base padrão $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}.$ Vamos começar com o estado $\vert 0\rangle.$ Como matriz densidade, ele pode ser escrito assim.

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   Ao reunir os coeficientes das matrizes de Pauli no numerador, vemos que o ponto correspondente na $2$-esfera unitária em coordenadas cartesianas é $(0,0,1).$ Em coordenadas esféricas, esse ponto é $(1,0,\phi),$ onde $\phi$ pode ser qualquer ângulo. Isso é consistente com a expressão

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   que também vale para qualquer $\phi.$ Intuitivamente, o ângulo polar $\theta$ é zero, então estamos no polo norte da esfera de Bloch, onde o ângulo azimutal é irrelevante.

   De forma análoga, a matriz densidade para o estado $\vert 1\rangle$ pode ser escrita assim.

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   Desta vez, as coordenadas cartesianas são $(0,0,-1).$ Em coordenadas esféricas, esse ponto é $(1,\pi,\phi)$ onde $\phi$ pode ser qualquer ângulo. Neste caso, o ângulo polar vai até $\pi,$ então estamos no polo sul onde o ângulo azimutal é novamente irrelevante.

2. A base $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}.$ Temos essas expressões para as matrizes densidade correspondentes a esses estados.

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   Os pontos correspondentes na $2$-esfera unitária têm coordenadas cartesianas $(1,0,0)$ e $(-1,0,0),$ e coordenadas esféricas $(1,\pi/2,0)$ e $(1,\pi/2,\pi),$ respectivamente.

   Em palavras, $\vert +\rangle$ corresponde ao ponto onde o eixo $x$ positivo intersecta a $2$-esfera unitária e $\vert -\rangle$ corresponde ao ponto onde o eixo $x$ negativo a intersecta. Mais intuitivamente, $\vert +\rangle$ está no equador da esfera de Bloch onde ela encontra o meridiano principal, e $\vert - \rangle$ está no equador do lado oposto da esfera.

3. A base $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}.$ Como vimos anteriormente na lição, esses dois estados são definidos assim:

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   Desta vez temos essas expressões.

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   Os pontos correspondentes na $2$-esfera unitária têm coordenadas cartesianas $(0,1,0)$ e $(0,-1,0),$ e coordenadas esféricas $(1,\pi/2,\pi/2)$ e $(1,\pi/2,3\pi/2),$ respectivamente.

   Em palavras, $\vert {+i} \rangle$ corresponde ao ponto onde o eixo $y$ positivo intersecta a $2$-esfera unitária e $\vert {-i} \rangle$ ao ponto onde o eixo $y$ negativo a intersecta.

Aqui está outra classe de vetores de estado quântico que apareceu de tempos em tempos ao longo desta série, incluindo anteriormente nesta lição.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(para $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

A representação por matriz densidade de cada um desses estados é a seguinte.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

A figura a seguir ilustra os pontos correspondentes na esfera de Bloch para algumas escolhas de $\alpha.$

Combinações convexas de pontos

De forma semelhante ao que já discutimos para matrizes densidade, podemos tomar combinações convexas de pontos na esfera de Bloch para obter representações de matrizes densidade de qubits. Em geral, isso resulta em pontos dentro da esfera de Bloch, que representam matrizes densidade de estados que não são puros. Às vezes nos referimos à bola de Bloch quando queremos ser explícitos sobre a inclusão de pontos no interior da esfera de Bloch como representações de matrizes densidade de qubits.

Por exemplo, vimos que a matriz densidade $\frac{1}{2}\mathbb{I},$ que representa o estado completamente misto de um qubit, pode ser escrita dessas duas formas alternativas:

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{e}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

Também temos

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

e, de forma mais geral, podemos usar quaisquer dois vetores de estado quântico de qubits ortogonais (que sempre corresponderão a dois pontos antipodais na esfera de Bloch). Se calcularmos a média dos pontos correspondentes na esfera de Bloch de maneira similar, obtemos o mesmo ponto, que neste caso está no centro da esfera. Isso é consistente com a observação de que

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

nos dando as coordenadas cartesianas $(0,0,0).$

Um exemplo diferente sobre combinações convexas de pontos na esfera de Bloch é o discutido na subseção anterior.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

A figura a seguir ilustra essas duas formas diferentes de obter essa matriz densidade como uma combinação convexa de estados puros.