Entenda as opções de camada aberta versus camada fechada e o efeito na construção do subespaço

Neste guia, mostraremos como escolher as dimensões do subespaço no pacote qiskit_addon_sqd para pós-processar amostras quânticas usando a técnica de recuperação de configuração autoconsistente.

Mais importante ainda, este guia também destaca algumas diferenças no comportamento da construção do subespaço quando executada nos modos open_shell = False ou open_shell = True:

open_shell = False só funciona quando o número de elétrons de spin para cima e de spin para baixo é o mesmo.
open_shell = True deve ser usado quando o número de elétrons de spin para cima e de spin para baixo é diferente. Ele também pode ser usado quando o número de elétrons de spin para cima e de spin para baixo é o mesmo. No entanto, nesse último caso, há uma diferença nos tamanhos dos subespaços gerados entre open_shell = False e open_shell = True, como discutido neste guia.

NOTA: Algumas das manipulações de configurações eletrônicas (bitstrings) neste pacote têm como objetivo preservar a simetria de spin total $S^2$ . Os solvers padrão de Interação de Configurações Selecionadas (SCI) não conseguem impor a conservação de $S^2$ exatamente. Consequentemente, eles o fazem de forma aproximada por meio de um multiplicador de Lagrange.

A escolha das configurações eletrônicas que entram no solver de autoestados também pode ter um forte efeito na conservação do spin. Por exemplo, em um sistema de (2 elétrons, 2 orbitais), pode-se amostrar a configuração $|1001\rangle$ (que tem uma única excitação de spin para cima sobre o estado RHF $|0101\rangle$ ), que é uma combinação linear dos estados singleto e tripleto de camada aberta, respectivamente $(|1001\rangle ± |0110\rangle) /\sqrt{2}$ . Se a configuração |0110⟩ não for amostrada, não é possível construir nenhuma das autofunções de spin total, o que leva a contaminação de spin ou redundância (a configuração |1001⟩ participa de um cálculo CI, mas tem coeficiente 0 no vetor CI). Dado que uma única amostra $|1001\rangle$ é gerada no computador quântico, é assim que o pacote sqd trata essa situação:

open_shell = False:
1. A bitstring $1001$ é dividida ao meio, representando as configurações de spin para cima e de spin para baixo: $10$ (para cima) e $01$ (para baixo).
2. A lista de configurações únicas spin-polarizadas é construída: $\mathcal{U} = [01, 10]$ .
3. Em seguida, consideramos todas as combinações possíveis dos elementos de $\mathcal{U}$ para formar a base: $\left \{ |0101\rangle, |0110\rangle , |1001\rangle , |1010\rangle \right \}$ , que contém os estados singleto e tripleto.
open_shell = True:
1. Ao contrário do caso open_shell = False, não combinamos as metades da bitstring para formar a base.

Camada fechada

Este exemplo mostra como as bitstrings são manipuladas em um sistema de (2 elétrons, 4 orbitais).

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"qiskit_addon_sqd": "qiskit-addon-sqd"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

# Specify molecule properties
num_orbitals = 4
num_elec_a = num_elec_b = 1
open_shell = False

Especifique manualmente um dicionário de resultados de medição:

counts_dict = {
    "00010010": 1 / 2.0 - 0.01,
    "01001000": 1 / 2.0 - 0.01,
    "00010001": 0.02,
}

Transforme o dict de contagens em uma matriz de bitstrings e um array de probabilidades para pós-processamento:

from qiskit_addon_sqd.counts import counts_to_arrays

# Convert counts into bitstring and probability arrays
bitstring_matrix_full, probs_arr_full = counts_to_arrays(counts_dict)
print(bitstring_matrix_full)
print(probs_arr_full)

[[False False False  True False False  True False]
 [False  True False False  True False False False]
 [False False False  True False False False  True]]
[0.49 0.49 0.02]

Subamostre um único lote de tamanho dois:

n_batches = 1: Número de lotes de configurações usados pelas diferentes chamadas ao solver de autoestados
samples_per_batch = 2: Número de configurações únicas a incluir em cada lote

from qiskit_addon_sqd.subsampling import (
    postselect_by_hamming_right_and_left,
    subsample,
)

n_batches = 1
samples_per_batch = 2

# seed for random number generator
rand_seed = 48

# Post-select the configurations with the correct Hamming weight on each half
bitstring_matrix_postsel, probs_arr_postsel = (
    postselect_by_hamming_right_and_left(
        bitstring_matrix_full,
        probs_arr_full,
        hamming_right=num_elec_a,
        hamming_left=num_elec_b,
    )
)

# Generate the batches
batches = subsample(
    bitstring_matrix_postsel,
    probs_arr_postsel,
    samples_per_batch,
    n_batches,
    rand_seed=rand_seed,
)

print(batches[0])

[[False False False  True False False  True False]
 [False  True False False  True False False False]]

Obtenha a representação decimal das bitstrings de spin para cima e de spin para baixo usadas pelo solver de autoestados.

O primeiro elemento da tupla corresponde à representação decimal das configurações de spin para cima, enquanto o segundo elemento da tupla corresponde à representação decimal das configurações de spin para baixo:

from qiskit_addon_sqd.fermion import bitstring_matrix_to_ci_strs

ci_strs = bitstring_matrix_to_ci_strs(batches[0], open_shell=open_shell)
print(ci_strs)

(array([1, 2, 4, 8], dtype=int64), array([1, 2, 4, 8], dtype=int64))

Observe que, embora o número de amostras por lote seja dois e as bitstrings amostradas sejam $00010010$ e $01001000$ , são geradas quatro configurações eletrônicas por espécie de spin. Neste caso, o conjunto de configurações únicas spin-polarizadas é dado por:

\mathcal{U} = \{ 0001, 0010, 0100, 1000 \}

cuja representação decimal na base 10 é

\mathcal{U}_{10} = \{ 1, 2, 4, 8 \}

Base do subespaço:

O solver de autoestados toma todos os pares possíveis de bitstrings de spin para cima e de spin para baixo para construir a base $\mathcal{B}$ do subespaço:

Elemento 1: $|00010001\rangle$
Elemento 2: $|00010010\rangle$
Elemento 3: $|00010100\rangle$
Elemento 4: $|00011000\rangle$
Elemento 5: $|00100001\rangle$
Elemento 6: $|00100010\rangle$
Elemento 7: $|00100100\rangle$
Elemento 8: $|00101000\rangle$
Elemento 9: $|01000001\rangle$
Elemento 10: $|01000010\rangle$
Elemento 11: $|01000100\rangle$
Elemento 12: $|01001000\rangle$
Elemento 13: $|10000001\rangle$
Elemento 14: $|10000010\rangle$
Elemento 15: $|10000100\rangle$
Elemento 16: $|10001000\rangle$

ci_strs_up, ci_strs_dn = ci_strs

print("Basis elements of the subspace:")

for ci_str_up in ci_strs_up:
    for ci_str_dn in ci_strs_dn:
        format_name = "{0:0" + str(num_orbitals) + "b}"
        print(
            "|"
            + format_name.format(ci_str_up)
            + format_name.format(ci_str_dn)
            + ">"
        )

Basis elements of the subspace:
|00010001>
|00010010>
|00010100>
|00011000>
|00100001>
|00100010>
|00100100>
|00101000>
|01000001>
|01000010>
|01000100>
|01001000>
|10000001>
|10000010>
|10000100>
|10001000>

A dimensão do subespaço é limitada superiormente por: $2 \cdot$ (samples_per_batch) $^2$ .

Camada aberta

Este exemplo mostra como as bitstrings são manipuladas em um sistema de (2 elétrons, 4 orbitais).

# Specify molecule properties
num_orbitals = 4
num_elec_a = num_elec_b = 1
open_shell = True

Especifique manualmente um dicionário de resultados de medição:

counts_dict = {
    "00010010": 1 / 2.0 - 0.01,
    "01001000": 1 / 2.0 - 0.01,
    "00010001": 0.02,
}

Transforme o dict de contagens em uma matriz de bitstrings e um array de probabilidades para pós-processamento:

# Convert counts into bitstring and probability arrays
bitstring_matrix_full, probs_arr_full = counts_to_arrays(counts_dict)
print(bitstring_matrix_full)
print(probs_arr_full)

[[False False False  True False False  True False]
 [False  True False False  True False False False]
 [False False False  True False False False  True]]
[0.49 0.49 0.02]

Subamostre um único lote de tamanho dois:

n_batches = 1: Número de lotes de configurações usados pelas diferentes chamadas ao solver de autoestados
samples_per_batch = 2: Número de configurações únicas a incluir em cada lote

n_batches = 1
samples_per_batch = 2

# seed for random number generator
rand_seed = 48

# Post-select the configurations with the correct Hamming weight on each half
bitstring_matrix_postsel, probs_arr_postsel = (
    postselect_by_hamming_right_and_left(
        bitstring_matrix_full,
        probs_arr_full,
        hamming_right=num_elec_a,
        hamming_left=num_elec_b,
    )
)

# Generate the batches
batches = subsample(
    bitstring_matrix_postsel,
    probs_arr_postsel,
    samples_per_batch,
    n_batches,
    rand_seed=rand_seed,
)

print(batches[0])

[[False False False  True False False  True False]
 [False  True False False  True False False False]]

Obtenha a representação decimal das bitstrings de spin para cima e de spin para baixo usadas pelo solver de autoestados.

ci_strs = bitstring_matrix_to_ci_strs(batches[0], open_shell=open_shell)
print(ci_strs)

(array([2, 8], dtype=int64), array([1, 4], dtype=int64))

Se especificarmos open_shell = True, não incluímos todas as meias-bitstrings únicas como configurações de spin para cima e de spin para baixo, o que resulta em uma base menor do que ao especificar open_shell = False. Base do subespaço:

O solver de autoestados toma todos os pares possíveis de bitstrings de spin para cima e de spin para baixo para construir a base $\mathcal{B}$ do subespaço:

Elemento 1: $|00010010\rangle$
Elemento 2: $|00011000\rangle$
Elemento 3: $|01000010\rangle$
Elemento 4: $|01001000\rangle$

ci_strs_up, ci_strs_dn = ci_strs

print("Basis elements of the subspace:")

for ci_str_up in ci_strs_up:
    for ci_str_dn in ci_strs_dn:
        format_name = "{0:0" + str(num_orbitals) + "b}"
        print(
            "|"
            + format_name.format(ci_str_up)
            + format_name.format(ci_str_dn)
            + ">"
        )

Basis elements of the subspace:
|00100001>
|00100100>
|10000001>
|10000100>

A dimensão do subespaço é limitada superiormente por: (samples_per_batch) $^2$ .

Camada fechada​

Camada aberta​

Camada fechada

Camada aberta