SQD para estimativa de energia de um Hamiltoniano de química

Nesta lição, vamos aplicar o SQD para estimar a energia do estado fundamental de uma molécula.

Em particular, vamos abordar os seguintes tópicos usando a abordagem de $4$ etapas do padrão Qiskit:

1. Etapa 1: Mapear o problema para circuitos quânticos e operadores
   • Configurar o Hamiltoniano molecular para $N_2$.
   • Explicar o ansatz local unitary cluster Jastrow (LUCJ) [1], inspirado em química e compatível com hardware
2. Etapa 2: Otimizar para o hardware alvo
   • Otimizar a contagem de portas e o layout do ansatz para execução em hardware
3. Etapa 3: Executar no hardware alvo
   • Rodar o circuito otimizado em uma QPU real para gerar amostras do subespaço.
4. Etapa 4: Pós-processar os resultados
   • Introduzir o loop de recuperação de configuração auto-consistente [2]
     • Pós-processar o conjunto completo de amostras de bitstrings, usando conhecimento prévio sobre o número de partículas e a ocupação orbital média calculada na iteração mais recente.
     • Criar probabilisticamente lotes de subamostras a partir das bitstrings recuperadas.
     • Projetar e diagonalizar o Hamiltoniano molecular sobre cada subespaço amostrado.
     • Salvar a menor energia do estado fundamental encontrada em todos os lotes e atualizar a ocupação orbital média.

Vamos usar vários pacotes de software ao longo da lição.

• PySCF para definir a molécula e configurar o Hamiltoniano.
• Pacote ffsim para construir o ansatz LUCJ.
• Qiskit para transpilar o ansatz para execução em hardware.
• Qiskit IBM Runtime para executar o circuito em uma QPU e coletar amostras.
• Qiskit addon SQD para recuperação de configuração e estimativa de energia do estado fundamental usando projeção de subespaço e diagonalização de matrizes.

1. Mapear o problema para circuitos quânticos e operadores

Hamiltoniano molecular

Um Hamiltoniano molecular tem a forma genérica:

$$\hat{H} = \sum_{ \substack{pr\\\sigma} } h_{pr} \, \hat{a}^\dagger_{p\sigma} \hat{a}_{r\sigma} + \sum_{ \substack{prqs\\\sigma\tau} } \frac{(pr|qs)}{2} \, \hat{a}^\dagger_{p\sigma} \hat{a}^\dagger_{q\tau} \hat{a}_{s\tau} \hat{a}_{r\sigma}$$

$\hat{a}^\dagger_{p\sigma}$/$\hat{a}_{p\sigma}$ são os operadores fermiônicos de criação/aniquilação associados ao $p$-ésimo elemento do conjunto de base e ao spin $\sigma$. $h_{pr}$ e $(pr|qs)$ são as integrais eletrônicas de um e dois corpos. Usando o PySCF, vamos definir a molécula e calcular as integrais de um e dois corpos do Hamiltoniano para o conjunto de base 6-31g.

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q ffsim matplotlib numpy pyscf qiskit qiskit-addon-sqd qiskit-ibm-runtime

import warnings
import pyscf
import pyscf.cc
import pyscf.mcscf

warnings.filterwarnings("ignore")

# Specify molecule properties
open_shell = False
spin_sq = 0

# Build N2 molecule
mol = pyscf.gto.Mole()
mol.build(
    atom=[["N", (0, 0, 0)], ["N", (1.0, 0, 0)]],  # Two N atoms 1 angstrom apart
    basis="6-31g",
    symmetry="Dooh",
)

# Define active space
n_frozen = 2
active_space = range(n_frozen, mol.nao_nr())

# Get molecular integrals
scf = pyscf.scf.RHF(mol).run()
num_orbitals = len(active_space)
n_electrons = int(sum(scf.mo_occ[active_space]))
num_elec_a = (n_electrons + mol.spin) // 2
num_elec_b = (n_electrons - mol.spin) // 2
cas = pyscf.mcscf.CASCI(scf, num_orbitals, (num_elec_a, num_elec_b))
mo = cas.sort_mo(active_space, base=0)
hcore, nuclear_repulsion_energy = cas.get_h1cas(mo)  # hcore: one-body integrals
eri = pyscf.ao2mo.restore(1, cas.get_h2cas(mo), num_orbitals)  # eri: two-body integrals

# Compute exact energy for comparison
exact_energy = cas.run().e_tot

converged SCF energy = -108.835236570774
CASCI E = -109.046671778080  E(CI) = -32.8155692383188  S^2 = 0.0000000

Nesta lição, vamos usar a transformação de Jordan-Wigner (JW) para mapear uma função de onda fermiônica para uma função de onda de qubits, de modo que ela possa ser preparada usando um circuito quântico. A transformação JW mapeia o espaço de Fock de férmions em M orbitais espaciais para o espaço de Hilbert de 2M qubits, ou seja, um orbital espacial é dividido em dois orbitais de spin, um associado a um elétron com spin up ($\alpha$) e outro com spin down ($\beta$). Um orbital de spin pode estar ocupado ou desocupado. Normalmente, quando nos referimos ao número de orbitais, usamos o número de orbitais espaciais. O número de orbitais de spin é o dobro. Nos circuitos quânticos, representamos cada orbital de spin com um qubit. Assim, um conjunto de qubits representa os orbitais spin-up ou $\alpha$, e outro conjunto representa os orbitais spin-down ou $\beta$. Por exemplo, a molécula $N_2$ para o conjunto de base 6-31g tem $16$ orbitais espaciais (isto é, $16$ $\alpha$ + $16$ $\beta$ = $32$ orbitais de spin). Portanto, vamos precisar de um circuito quântico de $32$ qubits (podemos precisar de qubits ancilla extras, como discutido mais adiante). Os qubits são medidos na base computacional para gerar bitstrings, que representam configurações eletrônicas ou determinantes (de Slater). Ao longo desta lição, usaremos os termos bitstrings, configurações e determinantes de forma intercambiável. As bitstrings nos dizem a ocupação de elétrons nos orbitais de spin: um $1$ em uma posição de bit significa que o orbital de spin correspondente está ocupado, enquanto um $0$ significa que o orbital de spin está vazio. Como os problemas de estrutura eletrônica preservam o número de partículas, apenas um número fixo de orbitais de spin deve estar ocupado. A molécula $N_2$ tem $5$ elétrons spin-up ($\alpha$) e $5$ spin-down ($\beta$). Assim, qualquer bitstring que represente os orbitais $\alpha$ e $\beta$ deve ter cinco $1\text{s}$ em cada parte para a molécula $N_2$.

1.1 Circuito quântico para geração de amostras: o ansatz LUCJ

Nesta lição, vamos usar o ansatz local unitary coupled cluster Jastrow (LUCJ) \[1\] para preparação de estado quântico e posterior amostragem. Primeiro, vamos explicar os diferentes blocos construtivos do ansatz UCJ completo e as aproximações feitas na versão local. Em seguida, usando o pacote ffsim, vamos construir o ansatz LUCJ e otimizá-lo usando o transpilador Qiskit para execução em hardware.

O ansatz UCJ tem a seguinte forma (para um produto de $L$ camadas ou repetições do operador UCJ):

$$|\psi\rangle = \prod_{\mu=1}^{L}{(e^{K^{\mu}} \times {e^{iJ^{\mu}}} \times {e^{-K^{\mu}}})} |\Phi_{0}\rangle$$

onde $\vert \Phi_{0} \rangle$ é um estado de referência, tipicamente o estado Hartree-Fock (HF). Como o estado Hartree-Fock é definido com os orbitais de menor número ocupados, a preparação do estado HF envolve a aplicação de portas X para colocar os qubits correspondentes aos orbitais ocupados em um. Por exemplo, o bloco de preparação do estado HF para 4 orbitais espaciais e 2 spins up e 2 spins down pode se parecer com o seguinte: Uma única repetição do operador UCJ ${(e^{K^{(\mu)}} \times {e^{iJ^{(\mu)}}} \times {e^{-K^{(\mu)}}})}$ consiste em uma evolução de Coulomb diagonal ($e^{iJ^{(\mu)}}$) intercalada por rotações orbitais ($e^{K^{(\mu)}}$ e $e^{-K^{(\mu)}}$). Os blocos de rotação orbital trabalham em uma única espécie de spin ($\alpha$ (spin-up)/$\beta$ (spin-down)). Para cada espécie de elétron, a rotação orbital consiste em uma camada de portas $R_{z}$ de um qubit seguida por uma sequência de portas de rotação de Givens de 2 qubits (portas $XX + YY$).

As portas de 2 qubits atuam em orbitais de spin adjacentes (qubits vizinhos mais próximos) e, portanto, são implementáveis em QPUs IBM® sem a necessidade de portas SWAP. O $e^{iJ^{(\mu)}}$, também conhecido como operador de Coulomb diagonal, consiste em três blocos. Dois deles atuam nos setores de mesmo spin ($e^{iJ_{\alpha \alpha}^{(\mu)}}$ e $e^{iJ_{\beta \beta}^{(\mu)}}$), e um atua entre os dois setores de spin ($e^{iJ_{\alpha \beta}^{(\mu)}}$).

Todos os blocos em $e^{iJ^{(\mu)}}$ consistem em portas número-número $U_{nn}(\phi)$ [1]. Uma porta $U_{nn}(\phi)$ pode ser decomposta em uma porta $R_{ZZ}(\frac{\phi}{2})$ seguida por duas portas $Rz(-\frac{\phi}{2})$ de um qubit atuando em dois qubits separados.

Os componentes de mesmo spin ($J_{\alpha \alpha}$ e $J_{\beta \beta}$) têm portas $U_{nn}$ entre todos os pares possíveis de qubits. Porém, como as QPUs supercondutoras têm conectividade restritiva, os qubits precisam ser trocados (swapped) para realizar portas entre qubits não adjacentes.

Por exemplo, considere o seguinte bloco $e^{iJ_{\alpha \alpha}^{(\mu)}}$ (ou $e^{iJ_{\beta \beta}^{(\mu)}}$) para $N = 4$ orbitais espaciais. Para uma conectividade linear de qubits, as últimas três portas não são implementáveis diretamente, pois atuam entre qubits não adjacentes (por exemplo, Q0 e Q2 não estão diretamente conectados). Portanto, precisamos de portas SWAP para torná-los adjacentes (a figura a seguir mostra um exemplo com $3$ portas SWAP). Em seguida, o $J_{\alpha \beta}$ implementa portas entre orbitais com o mesmo índice em diferentes setores de spin (por exemplo, entre $0\alpha$ e $0\beta$). Da mesma forma, se os qubits não estiverem fisicamente adjacentes em uma QPU, essas portas também exigirão SWAPs. Da discussão acima, o ansatz UCJ enfrenta alguns obstáculos para execução em hardware, pois precisa de portas SWAP devido a interações entre qubits não adjacentes. A variante local do ansatz UCJ, o LUCJ, aborda esse desafio removendo alguns $U_{nn}$ do operador de Coulomb diagonal.

Nos blocos de mesma espécie de elétron ($J_{\alpha \alpha}$ e $J_{\beta \beta}$), mantemos apenas as portas $U_{nn}$ compatíveis com conectividade de vizinhos mais próximos e removemos as portas entre qubits não adjacentes na versão LUCJ. A figura a seguir mostra o bloco LUCJ após a remoção das portas não adjacentes. Em seguida, a versão LUCJ do bloco $J_{\alpha \beta}$, que atua entre diferentes espécies de elétrons, pode ter formas diferentes dependendo da topologia do dispositivo.

Aqui também a versão LUCJ elimina as portas incompatíveis. A figura abaixo mostra variantes do bloco $J_{\alpha \beta}$ para diferentes topologias de qubit, incluindo grade, hexagonal, heavy-hex e linear.

• Quadrada: podemos ter portas $U_{nn}$ entre todos os orbitais $\alpha$ e $\beta$ sem nenhum SWAP e, portanto, não precisamos remover nenhuma porta $U_{nn}$.
• Heavy-hex: As interações $\alpha$-$\beta$ são mantidas a cada $4$-ésimo índice (como o 0º, 4º e 8º) dos orbitais de spin e são mediadas por qubits ancilla, ou seja, precisamos de qubits ancilla entre as cadeias lineares que representam os orbitais $\alpha$ e $\beta$. Esse arranjo exige um número limitado de SWAPs.
• Hexagonal: A cada dois orbitais, como os de índice 0º, 2º e 4º, tornam-se vizinhos mais próximos quando $\alpha$ e $\beta$ são dispostos em duas cadeias lineares adjacentes.
• Linear: Apenas um orbital $\alpha$ e um $\beta$ são conectados, o que significa que o bloco $J_{\alpha \beta}$ terá apenas uma porta. Embora remover portas do ansatz UCJ para construir a versão LUCJ o torne mais compatível com hardware, o ansatz perde um pouco de expressividade. Portanto, mais repetições ($L$) do operador UCJ modificado podem ser necessárias ao usar o ansatz LUCJ.

1.2 Inicialização do ansatz LUCJ

O LUCJ é um ansatz parametrizado, e precisamos inicializar os parâmetros antes da execução em hardware. Uma forma de inicializar o ansatz é usando as amplitudes t1 e t2 do método clássico coupled cluster singles and doubles (CCSD), onde as amplitudes t1 são os coeficientes dos operadores de excitação simples e as amplitudes t2 são para operadores de excitação dupla.

Note que, embora inicializar o ansatz LUCJ com amplitudes t1 e t2 gere resultados razoáveis, os parâmetros do ansatz podem precisar de otimização adicional.

# Get CCSD t2 amplitudes for initializing the ansatz
ccsd = pyscf.cc.CCSD(
    scf, frozen=[i for i in range(mol.nao_nr()) if i not in active_space]
)
ccsd.run()

t1 = ccsd.t1
t2 = ccsd.t2

E(CCSD) = -109.0398256929733  E_corr = -0.20458912219883

1.3 Construindo o ansatz LUCJ usando ffsim

Vamos usar o pacote ffsim para criar e inicializar o ansatz com as amplitudes t1 e t2 calculadas acima. Como nossa molécula tem um estado Hartree-Fock de camada fechada, vamos usar a variante balanceada de spin do ansatz UCJ, UCJOpSpinBalanced.

Como o hardware IBM tem topologia heavy-hex, vamos adotar o padrão zig-zag usado em [1] e explicado acima para as interações entre qubits. Nesse padrão, os orbitais (qubits) com o mesmo spin são conectados em uma topologia de linha (círculos vermelhos e azuis). Devido à topologia heavy-hex, orbitais de spins diferentes têm conexões a cada 4º orbital, ou seja, o 0º, 4º, 8º e assim por diante (círculos roxos).

import ffsim
from qiskit import QuantumCircuit, QuantumRegister

n_reps = 2
alpha_alpha_indices = [(p, p + 1) for p in range(num_orbitals - 1)]
alpha_beta_indices = [(p, p) for p in range(0, num_orbitals, 4)]

ucj_op = ffsim.UCJOpSpinBalanced.from_t_amplitudes(
    t2=t2,
    t1=t1,
    n_reps=n_reps,
    interaction_pairs=(alpha_alpha_indices, alpha_beta_indices),
)

nelec = (num_elec_a, num_elec_b)

# create an empty quantum circuit
qubits = QuantumRegister(2 * num_orbitals, name="q")
circuit = QuantumCircuit(qubits)

# prepare Hartree-Fock state as the reference state and append it to the quantum circuit
circuit.append(ffsim.qiskit.PrepareHartreeFockJW(num_orbitals, nelec), qubits)

# apply the UCJ operator to the reference state
circuit.append(ffsim.qiskit.UCJOpSpinBalancedJW(ucj_op), qubits)
circuit.measure_all()
# circuit.decompose().draw("mpl", scale=0.5, fold=-1)

O ansatz LUCJ com camadas repetidas pode ser otimizado mesclando alguns blocos adjacentes. Considere um caso com n_reps=2. Os dois blocos de rotação orbital do meio podem ser mesclados em um único bloco de rotação orbital. O pacote ffsim tem um gerenciador de passos chamado ffsim.qiskit.PRE_INIT para otimizar o circuito mesclando esses blocos adjacentes.

2. Otimizar para o hardware alvo

Primeiro, buscamos um backend de nossa escolha. Vamos otimizar nosso circuito para o backend e, em seguida, executar o circuito otimizado no mesmo backend para gerar amostras para o subespaço.

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

service = QiskitRuntimeService()
# Use the least-busy backend or specify a quantum computer using the syntax commented out below.
backend = service.least_busy(operational=True, simulator=False)
# backend = service.backend("ibm_brisbane")

Em seguida, recomendamos os seguintes passos para otimizar o ansatz e torná-lo compatível com hardware.

• Selecionar qubits físicos (initial_layout) do hardware alvo que seguem o padrão zig-zag (duas cadeias lineares com qubit ancilla entre elas) descrito acima. Dispor os qubits nesse padrão resulta em um circuito eficiente e compatível com hardware, com menos portas.
• Gerar um gerenciador de passos em estágios usando a função generate_preset_pass_manager do Qiskit com o backend e initial_layout de sua escolha.
• Definir o estágio pre_init do seu gerenciador de passos em estágios como ffsim.qiskit.PRE_INIT. O ffsim.qiskit.PRE_INIT inclui passos do transpilador Qiskit que decompõem portas em rotações orbitais e depois mesclam as rotações orbitais, resultando em menos portas no circuito final.
• Executar o gerenciador de passos no seu circuito.

from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

spin_a_layout = [0, 14, 18, 19, 20, 33, 39, 40, 41, 53, 60, 61, 62, 72, 81, 82]
spin_b_layout = [2, 3, 4, 15, 22, 23, 24, 34, 43, 44, 45, 54, 64, 65, 66, 73]

initial_layout = spin_a_layout + spin_b_layout

pass_manager = generate_preset_pass_manager(
    optimization_level=3, backend=backend, initial_layout=initial_layout
)

# without PRE_INIT passes
isa_circuit = pass_manager.run(circuit)
print(f"Gate counts (w/o pre-init passes): {isa_circuit.count_ops()}")

# with PRE_INIT passes
# We will use the circuit generated by this pass manager for hardware execution
pass_manager.pre_init = ffsim.qiskit.PRE_INIT
isa_circuit = pass_manager.run(circuit)
print(f"Gate counts (w/ pre-init passes): {isa_circuit.count_ops()}")

Gate counts (w/o pre-init passes): OrderedDict({'rz': 7579, 'sx': 6106, 'ecr': 2316, 'x': 336, 'measure': 32, 'barrier': 1})
Gate counts (w/ pre-init passes): OrderedDict({'rz': 4088, 'sx': 3125, 'ecr': 1262, 'x': 201, 'measure': 32, 'barrier': 1})

3. Execute no hardware alvo

Após otimizar o circuito para execução no hardware, estamos prontos para rodá-lo no hardware alvo e coletar amostras para a estimativa da energia do estado fundamental. Como temos apenas um circuito, vamos usar o modo de execução por Job do Qiskit Runtime para executar nosso circuito.

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler

sampler = Sampler(mode=backend)
sampler.options.dynamical_decoupling.enable = True

job = sampler.run([isa_circuit], shots=10_000)  # Takes approximately 5sec of QPU time

# Run cell after IQX job completion
primitive_result = job.result()
pub_result = primitive_result[0]
counts = pub_result.data.meas.get_counts()

4. Pós-processamento dos resultados

A etapa de pós-processamento do fluxo de trabalho SQD pode ser resumida pelo diagrama a seguir.

Amostrar o ansatz LUCJ na base computacional gera um conjunto de configurações ruidosas $\tilde{\mathcal{\chi}}$, que são usadas na rotina de pós-processamento. Essa rotina envolve um método chamado recuperação de configurações (detalhes discutidos a seguir) para corrigir probabilisticamente configurações com número incorreto de elétrons. As configurações com número correto de partículas $\tilde{\mathcal{\chi}}_{R}$ são então sub-amostradas e distribuídas em múltiplos lotes com base na frequência de aparição de cada configuração única. Cada lote de amostras define um subespaço ($\mathcal{S^{(k)}}$). Em seguida, o Hamiltoniano molecular, $H$, é projetado sobre os subespaços:

$$H_{\mathcal{S}^{(k)}} = P_{\mathcal{S}^{(k)}} H _{\mathcal{S}^{(k)}} \text{ with } P_{\mathcal{S}^{(k)}} = \sum_{x \in \mathcal{S}^{(k)}} \vert x \rangle \langle x \vert$$

Cada Hamiltoniano projetado $H_{\mathcal{S}^{(k)}}$ é então enviado a um Eigensolver, onde é diagonalizado para calcular autovalores e autovetores e reconstruir um autoestado. Nesta lição, projetamos e diagonalizamos o Hamiltoniano usando o pacote qiskit-addon-sqd, que usa o método de Davidson do PySCF para a diagonalização.

$$H_{\mathcal{S}^{(k)}} \vert \psi^{(k)} \rangle = E^{(k)} \vert \psi^{(k)} \rangle$$

Em seguida, coletamos o menor autovalor (energia) dos lotes e calculamos também a ocupação orbital média, $\text{n}$. A informação de ocupação média é usada na etapa de recuperação de configurações para corrigir probabilisticamente as configurações ruidosas.

A seguir, explicamos em detalhes o loop de recuperação de configurações autoconsistente e apresentamos exemplos concretos de código para implementar as etapas descritas acima e estimar a energia do estado fundamental do Hamiltoniano $N_2$.

4.1 Recuperação de configurações: visão geral

Cada bit em uma bitstring (determinante de Slater) representa um orbital de spin. A metade direita da bitstring representa orbitais de spin-up, e a metade esquerda representa os orbitais de spin-down. Um 1 significa que o orbital está ocupado por um elétron, e um 0 significa que o orbital está vazio. O número correto de partículas (tanto elétrons spin-up quanto spin-down) é conhecido a priori. Suponha que temos um determinante $x$ com $N_x$ elétrons (ou seja, há $N_x$ números de $1$s na bitstring). O número correto de partículas é $N$. Se $N_x \neq N$, então sabemos que a bitstring foi corrompida por ruído. A rotina de configuração autoconsistente tenta corrigir a bitstring invertendo probabilisticamente $|N_x - N|$ bits, aproveitando as informações de ocupação orbital média. A ocupação orbital média ($n$) nos diz qual a probabilidade de um orbital ser ocupado por um elétron. Se $N_x < N$, temos menos elétrons e precisamos inverter alguns $0$s para $1$s e vice-versa.

A probabilidade de inversão pode ser $|x[i] - avg\_occupancy[i]|$ para o $i$-ésimo orbital de spin. Em [2], os autores usaram uma probabilidade ponderada de inversão com a função ReLU modificada.

$$\begin{align} w(y) = \begin{cases} \delta \frac{y}{h} & \text{if } y \leq h\\ \nonumber \delta + (1 - \delta) \frac{y - h}{1 - h} & \text{if } y > h \end{cases} \end{align}$$

Aqui $h$ define a localização do "canto" da função ReLU, e o parâmetro $\delta$ define o valor da função ReLU nesse canto. Para $\delta = 0$, $w$ se torna a função ReLU verdadeira, e para $\delta >0$, ela se torna a ReLU modificada. No artigo, os autores usaram $\delta = 0.01$ e $h =$ número de partículas alfa (ou beta) / número de orbitais de spin alfa (ou beta) $= N/M$ (fator de preenchimento).

A ocupação orbital média ($n$) não é conhecida a priori. A primeira iteração da estimativa do estado fundamental começa com configurações que possuem apenas o número correto de partículas em ambas as espécies de spin. Após a primeira iteração, temos uma estimativa do estado fundamental e, com base nessa estimativa, podemos construir o primeiro chute de $n$. Esse chute de $n$ é usado para recuperar configurações, executar a próxima iteração da estimativa do estado fundamental e refinar o chute de $n$ de forma autoconsistente. O processo se repete até que um critério de parada seja atingido.

Considere o seguinte exemplo para $N = 2$ e $x = |1000\rangle$ ($N_x = 1$). Precisamos inverter um dos $0$s para $1$ a fim de corrigir o número de partículas, e as possibilidades são 1100, 1010 e 1001. Com base na probabilidade de inversão, uma das possibilidades será selecionada como configuração recuperada (ou seja, a bitstring com o número correto de partículas).

Suponha que na primeira iteração rodamos dois lotes, e os estados fundamentais estimados por eles são:

$$\begin{align}\nonumber \text{Batch0: } \vert \psi \rangle &= 0.8 \times \vert 1001 \rangle + 0.6 \times \vert 0110 \rangle \\ \nonumber \text{Batch1: } \vert \psi \rangle &= \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \vert 1001 \rangle + \vert 0101 \rangle + \vert 0110 \rangle \right) \nonumber \end{align}$$

Usando os estados da base computacional e suas amplitudes, podemos calcular a probabilidade de ocupação de elétrons (resumidamente, ocupâncias) por orbital de spin (qubit) (note que probabilidade = |amplitude|$^2$). Abaixo tabulamos as ocupâncias qubit a qubit para cada bitstring que aparece no estado fundamental estimado e calculamos a ocupação orbital total para cada lote. Note que, conforme a convenção de ordenação do Qiskit, o bit mais à direita representa o qubit-0 (Q0) e o mais à esquerda representa Q3.

Ocupância (Batch0):

	Q3	Q2	Q1	Q0
1001	0.64	0.0	0.0	0.64
0110	0.0	0.36	0.36	0.0
n (Batch0)	0.64	0.36	0.36	0.64

Ocupância (Batch1)

	Q3	Q2	Q1	Q0
1001	0.33	0.00	0.00	0.33
0101	0.0	0.33	0.00	0.33
0110	0.0	0.33	0.33	0.00
n (Batch1)	0.33	0.66	0.33	0.66

Ocupância (média entre os lotes)

	Q3	Q2	Q1	Q0
n (Batch0)	0.64	0.36	0.36	0.64
n (Batch1)	0.33	0.66	0.33	0.66
n (média)	0.49	0.51	0.35	0.65

Usando a ocupação orbital média calculada acima, podemos encontrar as probabilidades de inversão para diferentes orbitais na configuração $x = \vert 1000 \rangle$. Como o orbital representado por Q3 já está ocupado e não precisa ser invertido, definimos sua p(inversão) como $0$. Para os demais orbitais, que estão desocupados, a probabilidade de inversão é $\vert x[i] - \text{n}[i] \vert$ para cada um. Junto com p(inversão), também calculamos o peso de probabilidade associado à inversão usando a função ReLU modificada descrita acima.

Probabilidade de inversão ($x = \vert 1000 \rangle$, $\delta = 0.01$, $h = N/M = 2/4 = 0.50$)

	Q3	Q2	Q1	Q0
p(inversão) ($\vert x[i] - \text{n}[i] \vert$)	0	0.51	0.35	0.65
w(p(inversão))	0	0.03	0.007	0.31

Por fim, usando as probabilidades ponderadas acima, podemos inverter um dos orbitais desocupados Q2, Q1 e Q0. Com base nos valores acima, Q0 será invertido com maior probabilidade, e uma possível configuração recuperada pode ser $\vert \text{1001} \rangle$. O processo completo de recuperação de configurações autoconsistente pode ser resumido da seguinte forma:

Primeira iteração: Suponha que as bitstrings (configurações ou determinantes de Slater) geradas pelo computador quântico formam um conjunto $\widetilde{\chi}$, que inclui tanto configurações com número correto ($\widetilde{\chi}_{correct}$) quanto incorreto ($\widetilde{\chi}_{incorrect}$) de partículas em cada setor de spin.

1. Configurações de ($\widetilde{\chi}_{correct}$) são amostradas aleatoriamente para criar lotes $(\mathcal{S}^{(1)}, \cdots, \mathcal{S}^{(K)})$ de vetores para projeção no subespaço. O número de lotes e de amostras em cada lote são parâmetros definidos pelo usuário. Quanto maior o número de amostras em cada lote, maior a dimensão do subespaço e mais custosa computacionalmente fica a diagonalização. Por outro lado, um número muito pequeno de amostras pode deixar de fora os vetores de suporte do estado fundamental e levar a uma estimativa incorreta.
2. Rodar o eigensolver (ou seja, projeção no subespaço e diagonalização) nos lotes e obter os autoestados aproximados $|\psi^{(1)}\rangle, \cdots, |\psi^{(K)}\rangle$.
3. A partir dos autoestados aproximados, construir o primeiro chute para $n$.

Iterações subsequentes:

1. Usando $n$, corrigir as configurações com número incorreto de partículas em $\widetilde{\chi}_{incorrect}$. Vamos chamá-las de $\widetilde{\chi}_{correct\_new}$. Então, $\widetilde{\chi}_{recovered} (\widetilde{\chi}_{R}) = \widetilde{\chi}_{correct} \cup \widetilde{\chi}_{correct\_new}$ forma o novo conjunto de configurações com número correto de partículas.
2. $\widetilde{\chi}_{R}$ é amostrado para criar os lotes $\mathcal{S}^{(1)}, \cdots, \mathcal{S}^{(K)}$.
3. O eigensolver roda com os novos lotes e gera novas estimativas dos estados fundamentais $|\psi^{(1)}\rangle, \cdots, |\psi^{(K)}\rangle$.
4. A partir dos autoestados aproximados, construir um chute refinado para $n$.
5. Se o critério de parada não for atingido, voltar ao passo 2.1.

4.2 Estimativa do estado fundamental

Primeiro, vamos transformar as contagens em uma matriz de bitstrings e um array de probabilidades para o pós-processamento.

Cada linha da matriz representa uma bitstring única. Como os qubits são indexados da direita para a esquerda em uma bitstring no Qiskit, a coluna 0 representa o qubit N-1, e a coluna N-1 representa o qubit 0, onde N é o número de qubits.

Os orbitais alfa são representados no intervalo de índices de coluna (N, N/2] (metade direita), e os orbitais beta são representados no intervalo (N/2, 0] (metade esquerda).

from qiskit_addon_sqd.counts import counts_to_arrays

# Convert counts into bitstring and probability arrays
bitstring_matrix_full, probs_arr_full = counts_to_arrays(counts)

Existem algumas opções controladas pelo usuário que são importantes para essa técnica:

• iterations: Número de iterações de recuperação de configurações autoconsistente
• n_batches: Número de lotes de configurações usados pelas diferentes chamadas ao eigensolver
• samples_per_batch: Número de configurações únicas a incluir em cada lote
• max_davidson_cycles: Número máximo de ciclos de Davidson rodados por cada eigensolver

import numpy as np
from qiskit_addon_sqd.configuration_recovery import recover_configurations
from qiskit_addon_sqd.fermion import (
    bitstring_matrix_to_ci_strs,
    solve_fermion,
)
from qiskit_addon_sqd.subsampling import postselect_and_subsample

rng = np.random.default_rng(24)
# SQD options
iterations = 5

# Eigenstate solver options
n_batches = 5
samples_per_batch = 500
max_davidson_cycles = 300

# Self-consistent configuration recovery loop
e_hist = np.zeros((iterations, n_batches))  # energy history
s_hist = np.zeros((iterations, n_batches))  # spin history
occupancy_hist = []
avg_occupancy = None
for i in range(iterations):
    print(f"Starting configuration recovery iteration {i}")
    # On the first iteration, we have no orbital occupancy information from the
    # solver, so we begin with the full set of noisy configurations.
    if avg_occupancy is None:
        bs_mat_tmp = bitstring_matrix_full
        probs_arr_tmp = probs_arr_full

    # If we have average orbital occupancy information, we use it to refine the full set of noisy configurations
    else:
        bs_mat_tmp, probs_arr_tmp = recover_configurations(
            bitstring_matrix_full,
            probs_arr_full,
            avg_occupancy,
            num_elec_a,
            num_elec_b,
            rand_seed=rng,
        )

    # Create batches of subsamples. We post-select here to remove configurations
    # with incorrect hamming weight during iteration 0, since no config recovery was performed.
    batches = postselect_and_subsample(
        bs_mat_tmp,
        probs_arr_tmp,
        hamming_right=num_elec_a,
        hamming_left=num_elec_b,
        samples_per_batch=samples_per_batch,
        num_batches=n_batches,
        rand_seed=rng,
    )

    # Run eigenstate solvers in a loop. This loop should be parallelized for larger problems.
    e_tmp = np.zeros(n_batches)
    s_tmp = np.zeros(n_batches)
    occs_tmp = []
    coeffs = []
    for j in range(n_batches):
        strs_a, strs_b = bitstring_matrix_to_ci_strs(batches[j])
        print(f"  Batch {j} subspace dimension: {len(strs_a) * len(strs_b)}")
        energy_sci, coeffs_sci, avg_occs, spin = solve_fermion(
            batches[j],
            hcore,
            eri,
            open_shell=open_shell,
            spin_sq=spin_sq,
            max_davidson=max_davidson_cycles,
        )
        energy_sci += nuclear_repulsion_energy
        e_tmp[j] = energy_sci
        s_tmp[j] = spin
        occs_tmp.append(avg_occs)
        coeffs.append(coeffs_sci)

    # Combine batch results
    avg_occupancy = tuple(np.mean(occs_tmp, axis=0))

    # Track optimization history
    e_hist[i, :] = e_tmp
    s_hist[i, :] = s_tmp
    occupancy_hist.append(avg_occupancy)

Starting configuration recovery iteration 0
  Batch 0 subspace dimension: 21609
  Batch 1 subspace dimension: 21609
  Batch 2 subspace dimension: 21609
  Batch 3 subspace dimension: 21609
  Batch 4 subspace dimension: 21609
Starting configuration recovery iteration 1
  Batch 0 subspace dimension: 609961
  Batch 1 subspace dimension: 616225
  Batch 2 subspace dimension: 627264
  Batch 3 subspace dimension: 633616
  Batch 4 subspace dimension: 624100
Starting configuration recovery iteration 2
  Batch 0 subspace dimension: 564001
  Batch 1 subspace dimension: 605284
  Batch 2 subspace dimension: 582169
  Batch 3 subspace dimension: 559504
  Batch 4 subspace dimension: 591361
Starting configuration recovery iteration 3
  Batch 0 subspace dimension: 550564
  Batch 1 subspace dimension: 549081
  Batch 2 subspace dimension: 531441
  Batch 3 subspace dimension: 527076
  Batch 4 subspace dimension: 531441
Starting configuration recovery iteration 4
  Batch 0 subspace dimension: 544644
  Batch 1 subspace dimension: 580644
  Batch 2 subspace dimension: 527076
  Batch 3 subspace dimension: 531441
  Batch 4 subspace dimension: 537289

4.3 Discussão dos resultados

O primeiro gráfico mostra que, após algumas iterações, estimamos a energia do estado fundamental com um erro de ~24 mH (a acurácia química é tipicamente aceita como 1 kcal/mol $\approx$ 1.6 mH). O segundo gráfico mostra a ocupação média de cada orbital espacial após a iteração final. Podemos observar que tanto os elétrons spin-up quanto spin-down ocupam os primeiros cinco orbitais com alta probabilidade nas nossas soluções.

Embora a energia do estado fundamental estimada seja razoável, ela não está dentro do limite de acurácia química ($\pm \approx 1.6$ mH). Essa diferença pode ser atribuída à pequena dimensão do subespaço que usamos acima para projeção e diagonalização. Como usamos samples_per_batch=500, o subespaço é gerado por no máximo $500$ vetores, o que pode deixar de fora vetores do suporte do estado fundamental. Aumentar o parâmetro samples_per_batch deve melhorar a acurácia ao custo de mais recursos computacionais clássicos e tempo de execução.

# Data for energies plot
x1 = range(iterations)
min_e = [np.min(e) for e in e_hist]
e_diff = [abs(e - exact_energy) for e in min_e]
yt1 = [1.0, 1e-1, 1e-2, 1e-3, 1e-4, 1e-5]

# Chemical accuracy (+/- 1 milli-Hartree)
chem_accuracy = 0.001

# Data for avg spatial orbital occupancy
y2 = occupancy_hist[-1][0] + occupancy_hist[-1][1]
x2 = range(len(y2))

import matplotlib.pyplot as plt

fig, axs = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6))

# Plot energies
axs[0].plot(x1, e_diff, label="energy error", marker="o")
axs[0].set_xticks(x1)
axs[0].set_xticklabels(x1)
axs[0].set_yticks(yt1)
axs[0].set_yticklabels(yt1)
axs[0].set_yscale("log")
axs[0].set_ylim(1e-6)
axs[0].axhline(
    y=chem_accuracy, color="#BF5700", linestyle="--", label="chemical accuracy"
)
axs[0].set_title("Approximated Ground State Energy Error vs SQD Iterations")
axs[0].set_xlabel("Iteration Index", fontdict={"fontsize": 12})
axs[0].set_ylabel("Energy Error (Ha)", fontdict={"fontsize": 12})
axs[0].legend()

# Plot orbital occupancy
axs[1].bar(x2, y2, width=0.8)
axs[1].set_xticks(x2)
axs[1].set_xticklabels(x2)
axs[1].set_title("Avg Occupancy per Spatial Orbital")
axs[1].set_xlabel("Orbital Index", fontdict={"fontsize": 12})
axs[1].set_ylabel("Avg Occupancy", fontdict={"fontsize": 12})

print(f"Exact energy: {exact_energy:.5f} Ha")
print(f"SQD energy: {min_e[-1]:.5f} Ha")
print(f"Absolute error: {e_diff[-1]:.5f} Ha")
plt.tight_layout()
plt.show()

Exact energy: -109.04667 Ha
SQD energy: -109.02234 Ha
Absolute error: 0.02434 Ha

Exercício para o leitor

Aumente progressivamente o parâmetro samples_per_batch (por exemplo, de $1000$ a $10000$ com passo de $1000$, respeitando a memória disponível no seu computador) e compare as energias do estado fundamental estimadas.

Referências

[1] M. Motta et al., "Bridging physical intuition and hardware efficiency for correlated electronic states: the local unitary cluster Jastrow ansatz for electronic structure" (2023). Chem. Sci., 2023, 14, 11213.

[2] J. Robledo-Moreno et al., "Chemistry Beyond Exact Solutions on a Quantum-Centric Supercomputer" (2024). arXiv:quant-ph/2405.05068.