Purificações

Definição de purificações

Vamos começar com uma definição matemática precisa para purificações.

Definição

Suponha que $\mathsf{X}$ é um sistema em um estado representado por uma matriz de densidade $\rho,$ e $\vert\psi\rangle$ é um vetor de estado quântico do par $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ que resulta em $\rho$ quando $\mathsf{Y}$ é traçado fora:

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle\langle\psi\vert\bigr).$$

O vetor de estado $\vert\psi\rangle$ é então dito ser uma purificação de $\rho.$

O estado puro $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$ expresso como uma matriz de densidade em vez de um vetor de estado quântico, também é comumente referido como uma purificação de $\rho$ quando a equação na definição é verdadeira, mas geralmente usaremos o termo para se referir a um vetor de estado quântico.

O termo purificação também é usado de forma mais geral quando a ordem dos sistemas é invertida, quando os nomes dos sistemas e estados são diferentes (é claro), e quando há mais de dois sistemas. Por exemplo, se $\vert \psi \rangle$ é um vetor de estado quântico representando um estado puro de um sistema composto $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ e a equação

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr)$$

é verdadeira para uma matriz de densidade $\rho$ representando um estado do sistema $(\mathsf{A},\mathsf{C}),$ então $\vert\psi\rangle$ ainda é referido como uma purificação de $\rho.$

Para os fins desta lição, no entanto, vamos nos concentrar na forma específica descrita na definição. Propriedades e fatos sobre purificações, de acordo com essa definição, podem ser generalizados para mais de dois sistemas reorganizando e particionando os sistemas em dois sistemas compostos, um desempenhando o papel de $\mathsf{X}$ e o outro desempenhando o papel de $\mathsf{Y}.$

Existência de purificações

Suponha que $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ são quaisquer dois sistemas e $\rho$ é um estado dado de $\mathsf{X}.$ Vamos provar que existe um vetor de estado quântico $\vert\psi\rangle$ de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ que purifica $\rho$ — o que é outra forma de dizer que $\vert\psi\rangle$ é uma purificação de $\rho$ — desde que o sistema $\mathsf{Y}$ seja grande o suficiente. Em particular, se $\mathsf{Y}$ tem pelo menos tantos estados clássicos quanto $\mathsf{X},$ então uma purificação dessa forma necessariamente existe para todo estado $\rho.$ Menos estados clássicos de $\mathsf{Y}$ são necessários para alguns estados $\rho;$ em geral, $\operatorname{rank}(\rho)$ estados clássicos de $\mathsf{Y}$ são necessários e suficientes para a existência de um vetor de estado quântico de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ que purifica $\rho.$

Considere primeiro qualquer expressão de $\rho$ como uma combinação convexa de $n$ estados puros, para qualquer inteiro positivo $n.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert$$

Nessa expressão, $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ é um vetor de probabilidade e $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ são vetores de estado quântico de $\mathsf{X}.$

Uma forma de obter essa expressão é pelo teorema espectral, em que $n$ é o número de estados clássicos de $\mathsf{X},$ $p_0,\ldots,p_{n-1}$ são os autovalores de $\rho,$ e $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ são autovetores ortonormais correspondentes a esses autovalores.

Na verdade, não é necessário incluir na soma os termos correspondentes aos autovalores zero de $\rho,$ o que nos permite alternativamente escolher $n = \operatorname{rank}(\rho)$ e $p_0,\ldots,p_{n-1}$ como os autovalores não nulos de $\rho.$ Esse é o valor mínimo de $n$ para o qual uma expressão de $\rho$ na forma acima existe.

Para ficar claro, não é necessário que a expressão escolhida de $\rho,$ como uma combinação convexa de estados puros, venha do teorema espectral — essa é apenas uma maneira de obter tal expressão. Em particular, $n$ pode ser qualquer inteiro positivo, os vetores unitários $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ não precisam ser ortogonais, e as probabilidades $p_0,\ldots,p_{n-1}$ não precisam ser autovalores de $\rho.$

Podemos agora identificar uma purificação de $\rho$ da seguinte forma.

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert a \rangle$$

Aqui estamos assumindo que os estados clássicos de $\mathsf{Y}$ incluem $0,\ldots,n-1.$ Se não incluírem, uma escolha arbitrária de $n$ estados clássicos distintos de $\mathsf{Y}$ pode ser substituída por $0,\ldots,n-1.$ Verificar que isso é de fato uma purificação de $\rho$ é uma simples questão de calcular o traço parcial, o que pode ser feito das duas seguintes maneiras equivalentes.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{n-1} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \langle a\vert) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \vert a\rangle) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert = \rho$$ $$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{p_b} \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_b\vert \, \operatorname{Tr}(\vert a \rangle \langle b \vert) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_a\vert = \rho$$

De forma mais geral, para qualquer conjunto ortonormal de vetores $\{\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{n-1}\rangle\},$ o vetor de estado quântico

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert \gamma_a \rangle$$

é uma purificação de $\rho.$

Exemplo

Suponha que $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ são ambos qubits e

$$\rho = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

é uma matriz de densidade representando um estado de $\mathsf{X}.$

Podemos usar o teorema espectral para expressar $\rho$ como

$$\rho = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle\langle\psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle\langle\psi_{5\pi/8}\vert,$$

onde $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta) \vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle.$ O vetor de estado quântico

$$\cos(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle \otimes \vert 0\rangle + \sin(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle \otimes \vert 1\rangle$$

que descreve um estado puro do par $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ é portanto uma purificação de $\rho.$

Alternativamente, podemos escrever

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert.$$

Esta é uma combinação convexa de estados puros, mas não uma decomposição espectral porque $\vert 0\rangle$ e $\vert +\rangle$ não são ortogonais e $1/2$ não é um autovalor de $\rho.$ Ainda assim, o vetor de estado quântico

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \otimes \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert + \rangle \otimes \vert 1\rangle$$

é uma purificação de $\rho.$

Decomposições de Schmidt

Em seguida, vamos discutir as decomposições de Schmidt, que são expressões de vetores de estado quântico de pares de sistemas que assumem uma determinada forma. As decomposições de Schmidt estão intimamente ligadas às purificações e são muito úteis por si mesmas. De fato, ao raciocinar sobre um dado vetor de estado quântico $\vert\psi\rangle$ de um par de sistemas, o primeiro passo costuma ser identificar ou considerar uma decomposição de Schmidt desse estado.

Definição

Seja $\vert \psi\rangle$ um dado vetor de estado quântico de um par de sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Uma decomposição de Schmidt de $\vert\psi\rangle$ é uma expressão da forma

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle,$$

onde $p_0,\ldots,p_{r-1}$ são números reais positivos que somam $1$ e ambos os conjuntos $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ e $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ são ortonormais.

Os valores

$$\sqrt{p_0},\ldots,\sqrt{p_{r-1}}$$

em uma decomposição de Schmidt de $\vert\psi\rangle$ são conhecidos como seus coeficientes de Schmidt, que são unicamente determinados (a menos de sua ordenação) — são os únicos números reais positivos que podem aparecer em tal expressão de $\vert\psi\rangle.$ Os conjuntos

$$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\} \quad\text{e}\quad \{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$$

por outro lado, não são unicamente determinados, e a liberdade que se tem na escolha desses conjuntos de vetores ficará clara na explicação que se segue.

Vamos agora verificar que um dado vetor de estado quântico $\vert\psi\rangle$ de fato possui uma decomposição de Schmidt e, no processo, aprenderemos como encontrá-la.

Considere primeiro uma base arbitrária (não necessariamente ortogonal) $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ do espaço vetorial correspondente ao sistema $\mathsf{X}.$ Como essa é uma base, sempre existirá uma seleção unicamente determinada de vetores $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ para os quais a equação a seguir é verdadeira.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a \rangle \tag{1}$$

Por exemplo, suponha que $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ seja a base padrão associada a $\mathsf{X}.$ Assumindo que o conjunto de estados clássicos de $\mathsf{X}$ é $\{0,\ldots,n-1\},$ isso significa que $\vert x_a\rangle = \vert a\rangle$ para cada $a\in\{0,\ldots,n-1\},$ e encontramos que

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a\rangle \otimes \vert z_a\rangle$$

quando

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

para cada $a\in\{0,\ldots,n-1\}.$ Frequentemente consideramos expressões como essa ao contemplar uma medição na base padrão de $\mathsf{X}.$

É importante notar que a fórmula

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

para os vetores $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ neste exemplo só funciona porque $\{\vert 0\rangle,\ldots,\vert n-1\rangle\}$ é uma base ortonormal. Em geral, se $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ é uma base não necessariamente ortonormal, então os vetores $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ ainda são unicamente determinados pela equação $(1),$ mas uma fórmula diferente é necessária. Uma maneira de encontrá-los é primeiro identificar vetores $\vert w_0\rangle,\ldots,\vert w_{n-1}\rangle$ tais que a equação

$$\langle w_a \vert x_b \rangle = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

seja satisfeita para todos $a,b\in\{0,\ldots,n-1\},$ momento em que temos

$$\vert z_a \rangle = (\langle w_a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle.$$

Para uma dada base $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ do espaço vetorial correspondente a $\mathsf{X},$ os vetores unicamente determinados $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ para os quais a equação $(1)$ é satisfeita não necessariamente satisfazem propriedades especiais, mesmo que $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ seja uma base ortonormal. Se, no entanto, escolhermos $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ como uma base ortonormal de autovetores do estado reduzido

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle \langle \psi \vert \bigr),$$

algo interessante acontece. Especificamente, para a coleção unicamente determinada $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ para a qual a equação $(1)$ é verdadeira, descobrimos que essa coleção deve ser ortogonal.

Em mais detalhes, considere uma decomposição espectral de $\rho.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert$$

Aqui estamos denotando os autovalores de $\rho$ por $p_0,\ldots,p_{n-1}$ em reconhecimento ao fato de que $\rho$ é uma matriz densidade — portanto o vetor de autovalores $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ forma um vetor de probabilidade — enquanto $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ é uma base ortonormal de autovetores correspondentes a esses autovalores. Para ver que a coleção única $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ para a qual a equação $(1)$ é verdadeira é necessariamente ortogonal, podemos começar calculando o traço parcial.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \operatorname{Tr}(\vert z_a\rangle\langle z_b\vert)\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \langle z_b\vert z_a\rangle \, \vert x_a\rangle\langle x_b\vert. \end{aligned}$$

Essa expressão deve concordar com a decomposição espectral de $\rho.$ Como $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ é uma base, concluímos que o conjunto de matrizes

$$\bigl\{ \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \,:\, a,b\in\{0,\ldots,n-1\} \bigr\}$$

é linearmente independente, e portanto segue que

$$\langle z_b \vert z_a\rangle = \begin{cases} p_a & a=b\\[1mm] 0 & a\neq b, \end{cases}$$

estabelecendo que $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ é ortogonal.

Estamos quase obtendo uma decomposição de Schmidt de $\vert\psi\rangle.$ Resta descartar os termos em $(1)$ para os quais $p_a = 0$ e então escrever $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ para um vetor unitário $\vert y_a\rangle$ para cada um dos termos restantes.

Uma maneira conveniente de fazer isso começa com a observação de que somos livres para numerar os pares autovalor/autovetor em uma decomposição espectral do estado reduzido $\rho$ como quisermos — então podemos assumir que os autovalores estão ordenados em ordem decrescente:

$$p_0 \geq p_1 \geq \cdots \geq p_{n-1}.$$

Seja $r = \operatorname{rank}(\rho),$ encontramos que $p_0,\ldots,p_{r-1} > 0$ e $p_r = \cdots = p_{n-1} = 0.$ Portanto, temos

$$\rho = \sum_{a = 0}^{r-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert,$$

e podemos escrever o vetor de estado quântico $\vert \psi \rangle$ como

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a\rangle.$$

Dado que

$$\| \vert z_a \rangle \|^2 = \langle z_a \vert z_a \rangle = p_a > 0$$

para $a=0,\ldots,r-1,$ podemos definir vetores unitários $\vert y_0 \rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle$ como

$$\vert y_a\rangle = \frac{\vert z_a\rangle}{\|\vert z_a\rangle\|} = \frac{\vert z_a\rangle}{\sqrt{p_a}},$$

de modo que $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ para cada $a\in\{0,\ldots,r-1\}.$ Como os vetores $\{\vert z_0\rangle, \ldots, \vert z_{r-1}\rangle\}$ são ortogonais e não nulos, segue que $\{\vert y_0\rangle, \ldots, \vert y_{r-1}\rangle\}$ é um conjunto ortonormal, e assim obtivemos uma decomposição de Schmidt de $\vert\psi\rangle.$

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle$$

Com relação à escolha dos vetores $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ e $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$ podemos selecionar $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ como qualquer conjunto ortonormal de autovetores correspondentes aos autovalores não nulos do estado reduzido $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ (como fizemos acima), caso em que os vetores $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ ficam unicamente determinados.

A situação é simétrica entre os dois sistemas, então podemos alternativamente escolher $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ como qualquer conjunto ortonormal de autovetores correspondentes aos autovalores não nulos do estado reduzido $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert),$ caso em que os vetores $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ ficarão unicamente determinados.

Note, no entanto, que uma vez que um dos conjuntos é selecionado como conjunto de autovetores do estado reduzido correspondente como descrito acima, o outro fica determinado — portanto eles não podem ser escolhidos de forma independente.

Embora não apareça novamente nesta série, é notável que os autovalores não nulos $p_0,\ldots,p_{r-1}$ do estado reduzido $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ devem sempre concordar com os autovalores não nulos do estado reduzido $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ para qualquer estado puro $\vert\psi\rangle$ de um par de sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Falando intuitivamente, os estados reduzidos de $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ possuem exatamente a mesma quantidade de aleatoriedade quando o par $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ está em um estado puro. Esse fato é revelado pela decomposição de Schmidt: em ambos os casos, os autovalores dos estados reduzidos devem concordar com os quadrados dos coeficientes de Schmidt do estado puro.

Equivalência unitária de purificações

Podemos usar decomposições de Schmidt para estabelecer um fato fundamentalmente importante sobre purificações, conhecido como a equivalência unitária de purificações.

Teorema

Equivalência unitária de purificações: Suponha que $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ são sistemas, e $\vert\psi\rangle$ e $\vert\phi\rangle$ são vetores de estado quântico de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ que purificam o mesmo estado de $\mathsf{X}.$ Em símbolos,

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

para alguma matriz densidade $\rho$ representando um estado de $\mathsf{X}.$ Deve então existir uma operação unitária $U$ em $\mathsf{Y}$ sozinho que transforma a primeira purificação na segunda:

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle = \vert\phi\rangle.$$

Vamos discutir algumas implicações desse teorema ao longo da lição, mas primeiro vamos ver como ele decorre da nossa discussão anterior sobre decomposições de Schmidt.

Nossa hipótese é que $\vert\psi\rangle$ e $\vert\phi\rangle$ são vetores de estado quântico de um par de sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ que satisfazem a equação

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

para alguma matriz densidade $\rho$ representando um estado de $\mathsf{X}.$

Considere uma decomposição espectral de $\rho.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a\rangle\langle x_a\vert$$

Aqui $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ é uma base ortonormal de autovetores de $\rho.$ Seguindo a prescrição descrita anteriormente, podemos obter decomposições de Schmidt para $\vert\psi\rangle$ e $\vert\phi\rangle$ com a seguinte forma.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert u_a\rangle\\[1mm] \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle \end{aligned}$$

Nessas expressões, $r$ é o posto de $\rho$ e $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{r-1}\rangle\}$ e $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{r-1}\rangle\}$ são conjuntos ortonormais de vetores no espaço correspondente a $\mathsf{Y}.$

Para quaisquer dois conjuntos ortonormais no mesmo espaço que têm o mesmo número de elementos, sempre existe uma matriz unitária que transforma o primeiro conjunto no segundo, portanto podemos escolher uma matriz unitária $U$ de modo que $U \vert u_a\rangle = \vert v_a\rangle$ para $a = 0,\ldots,r-1.$ Em particular, para encontrar tal matriz $U$ podemos primeiro usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para estender nossos conjuntos ortonormais a bases ortonormais $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{m-1}\rangle\}$ e $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{m-1}\rangle\},$ onde $m$ é a dimensão do espaço correspondente a $\mathsf{Y},$ e então tomar

$$U = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert v_a\rangle\langle u_a\vert.$$

Encontramos agora que

$$\begin{aligned} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes U \vert u_a\rangle\\ & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle\\ & = \vert\phi\rangle, \end{aligned}$$

o que conclui a demonstração.

Aqui estão apenas alguns de muitos exemplos e implicações interessantes relacionados à equivalência unitária de purificações. Veremos outro de importância crítica mais adiante na lição, no contexto da fidelidade, conhecido como o teorema de Uhlmann.

Codificação superdensa

No protocolo de codificação superdensa, Alice e Bob compartilham um e-bit, o que significa que Alice possui um qubit $\mathsf{A},$ Bob possui um qubit $\mathsf{B},$ e juntos o par $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ está no estado de Bell $\vert\phi^{+}\rangle.$ O protocolo descreve como Alice pode transformar esse estado compartilhado em qualquer um dos quatro estados de Bell, $\vert\phi^+\rangle,$ $\vert\phi^-\rangle,$ $\vert\psi^+\rangle,$ e $\vert\psi^-\rangle,$ aplicando uma operação unitária ao seu qubit $\mathsf{A}.$ Depois de fazer isso, ela envia $\mathsf{A}$ para Bob, e então Bob realiza uma medição no par $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ para ver qual estado de Bell ele possui.

Para todos os quatro estados de Bell, o estado reduzido do qubit $\mathsf{B}$ de Bob é o estado completamente misto.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^+\rangle\langle\phi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^-\rangle\langle\phi^-\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^+\rangle\langle\psi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert) = \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Pela equivalência unitária de purificações, concluímos imediatamente que para cada estado de Bell deve existir uma operação unitária no qubit $\mathsf{A}$ de Alice sozinho que transforma $\vert\phi^+\rangle$ no estado de Bell escolhido. Embora isso não revele os detalhes precisos do protocolo, a equivalência unitária de purificações implica imediatamente que a codificação superdensa é possível.

Podemos também concluir que generalizações da codificação superdensa para sistemas maiores são sempre possíveis, desde que substituamos os estados de Bell por qualquer base ortonormal de purificações do estado completamente misto.

Implicações criptográficas

A equivalência unitária de purificações tem implicações sobre a implementação de primitivas criptográficas usando informação quântica. Por exemplo, a equivalência unitária de purificações revela que é impossível implementar uma forma ideal de bit commitment usando informação quântica.

A primitiva de bit commitment envolve dois participantes, Alice e Bob (que não confiam um no outro), e tem duas fases.

• A primeira fase é a fase de comprometimento, por meio da qual Alice se compromete com um valor binário $b\in\{0,1\}.$ Esse comprometimento deve ser vinculante, o que significa que Alice não pode mudar de ideia, além de ocultador, o que significa que Bob não pode descobrir com qual valor Alice se comprometeu.
• A segunda fase é a fase de revelação, na qual o bit comprometido por Alice se torna conhecido por Bob, que então deve ser convencido de que foi realmente o valor comprometido que foi revelado.

Em termos intuitivos e operacionais, a primeira fase do bit commitment deve funcionar como se Alice escrevesse um valor binário em um pedaço de papel, trancasse o papel dentro de um cofre e entregasse o cofre para Bob enquanto guarda a chave para si. Alice se comprometeu com o valor binário escrito no papel porque o cofre está na posse de Bob (portanto é vinculante), mas como Bob não pode abrir o cofre ele não pode descobrir com qual valor Alice se comprometeu (portanto é ocultador). A segunda fase deve funcionar como se Alice entregasse a chave do cofre para Bob, para que ele possa abri-lo e revelar o valor ao qual Alice se comprometeu.

Acontece que é impossível implementar um protocolo perfeito de bit commitment por meio de informação quântica sozinha, pois isso contradiz a equivalência unitária de purificações. Aqui está um resumo de alto nível de um argumento que estabelece isso.

Para começar, podemos assumir que Alice e Bob realizam apenas operações unitárias ou introduzem novos sistemas inicializados à medida que o protocolo é executado. O fato de que todo canal possui uma representação de Stinespring nos permite fazer essa suposição.

Ao final da fase de comprometimento do protocolo, Bob possui em sua posse algum sistema composto que deve estar em um de dois estados quânticos: $\rho_0$ se Alice se comprometeu com o valor $0$ e $\rho_1$ se Alice se comprometeu com o valor $1.$ Para que o protocolo seja perfeitamente ocultador, Bob não deve ser capaz de distinguir esses dois estados — portanto deve ser que $\rho_0 = \rho_1.$ (Caso contrário, haveria uma medição que discrimina esses estados de forma probabilística.)

No entanto, como Alice e Bob usaram apenas operações unitárias, o estado de todos os sistemas envolvidos no protocolo juntos após a fase de comprometimento deve estar em um estado puro. Em particular, suponha que $\vert\psi_0\rangle$ seja o estado puro de todos os sistemas envolvidos no protocolo quando Alice se compromete com $0,$ e $\vert\psi_1\rangle$ seja o estado puro de todos os sistemas envolvidos no protocolo quando Alice se compromete com $1.$ Se escrevermos $\mathsf{A}$ e $\mathsf{B}$ para denotar os sistemas (possivelmente compostos) de Alice e Bob, então

$$\begin{aligned} \rho_0 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert)\\[1mm] \rho_1 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert). \end{aligned}$$

Dada a exigência de que $\rho_0 = \rho_1$ para um protocolo perfeitamente ocultador, encontramos que $\vert\psi_0\rangle$ e $\vert\psi_1\rangle$ são purificações do mesmo estado — e então, pela equivalência unitária de purificações, deve existir uma operação unitária $U$ em $\mathsf{A}$ sozinho tal que

$$(U\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}})\vert\psi_0\rangle = \vert\psi_1\rangle.$$

Alice, portanto, pode mudar seu comprometimento de $0$ para $1$ aplicando $U$ a $\mathsf{A},$ ou de $1$ para $0$ aplicando $U^{\dagger},$ e assim o protocolo hipotético considerado falha completamente em ser vinculante.

Teorema de Hughston-Jozsa-Wootters

A última implicação da equivalência unitária de purificações que discutiremos nesta parte da lição é o seguinte teorema, conhecido como o teorema de Hughston-Jozsa-Wootters. (Esta é, de fato, uma versão ligeiramente simplificada do teorema conhecido por esse nome.)

Teorema

Hughston-Jozsa-Wootters: Sejam $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ sistemas e seja $\vert\phi\rangle$ um vetor de estado quântico do par $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Seja também $N$ um inteiro positivo arbitrário, seja $(p_0,\ldots,p_{N-1})$ um vetor de probabilidade, e sejam $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ vetores de estado quântico representando estados de $\mathsf{X}$ tais que

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

Existe uma medição (geral) $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ em $\mathsf{Y}$ tal que as duas afirmações a seguir são verdadeiras quando essa medição é realizada em $\mathsf{Y}$ quando $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ está no estado $\vert\phi\rangle:$

1. Cada resultado de medição $a\in\{0,\ldots,N-1\}$ aparece com probabilidade $p_a$.
2. Condicionado à obtenção do resultado de medição $a,$ o estado de $\mathsf{X}$ passa a ser $\vert\psi_a\rangle.$

Falando intuitivamente, esse teorema diz que desde que tenhamos um estado puro de dois sistemas, então para qualquer maneira de pensar sobre o estado reduzido do primeiro sistema como uma combinação convexa de estados puros, existe uma medição do segundo sistema que efetivamente torna essa maneira de pensar sobre o primeiro sistema uma realidade. Note que o número $N$ não é necessariamente limitado pelo número de estados clássicos de $\mathsf{X}$ ou $\mathsf{Y}.$ Por exemplo, poderia ser que $N = 1.000.000$ enquanto $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ são qubits.

Vamos provar esse teorema usando a equivalência unitária de purificações, começando com a introdução de um novo sistema $\mathsf{Z}$ cujo conjunto de estados clássicos é $\{0,\ldots,N-1\}.$ Considere os dois vetores de estado quântico a seguir do triplo $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z}).$

$$\begin{aligned} \vert\gamma_0\rangle & = \vert\phi\rangle_{\mathsf{XY}}\otimes\vert 0\rangle_{\mathsf{Z}}\\[1mm] \vert\gamma_1\rangle & = \sum_{a = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\, \vert\psi_a\rangle_{\mathsf{X}} \otimes \vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle_{\mathsf{Z}} \end{aligned}$$

O primeiro vetor $\vert\gamma_0\rangle$ é simplesmente o vetor de estado quântico dado $\vert\phi\rangle$ tensoriado com $\vert 0\rangle$ para o novo sistema $\mathsf{Z}.$ Para o segundo vetor $\vert\gamma_1\rangle,$ essencialmente temos um vetor de estado quântico que tornaria o teorema trivial — pelo menos se $\mathsf{Y}$ fosse substituído por $\mathsf{Z}$ — porque uma medição na base padrão realizada em $\mathsf{Z}$ claramente produz cada resultado $a$ com probabilidade $p_a,$ e condicionado à obtenção desse resultado o estado de $\mathsf{X}$ passa a ser $\vert\psi_a\rangle.$

Ao pensar no par $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ como um único sistema composto que pode ser traçado para deixar $\mathsf{X},$ encontramos que identificamos duas purificações diferentes do estado

$$\rho = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

Especificamente, para a primeira temos

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_0\rangle\langle\gamma_0\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert) = \rho$$

e para a segunda temos

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_1\rangle\langle\gamma_1\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\sqrt{p_b} \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert \operatorname{Tr}(\vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert a\rangle\langle b\vert)\\ & = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert\\ & = \rho. \end{aligned}$$

Deve, portanto, existir uma operação unitária $U$ em $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ satisfazendo

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert \gamma_0 \rangle = \vert\gamma_1\rangle$$

pela equivalência unitária de purificações.

Usando essa operação unitária $U,$ podemos implementar uma medição que satisfaz os requisitos do teorema como ilustra o diagrama a seguir. Em palavras, introduzimos o novo sistema $\mathsf{Z}$ inicializado no estado $\vert 0\rangle,$ aplicamos $U$ a $(\mathsf{Y},\mathsf{Z}),$ o que transforma o estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ de $\vert\gamma_0\rangle$ para $\vert\gamma_1\rangle,$ e então medimos $\mathsf{Z}$ com uma medição na base padrão, que já observamos fornecer o comportamento desejado.

O retângulo pontilhado na figura representa uma implementação dessa medição, que pode ser descrita como uma coleção de matrizes semidefinidas positivas $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ da seguinte forma.

$$P_a = (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \langle 0\vert) U^{\dagger} (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle\langle a \vert)U (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert 0\rangle)$$