Fidelidade

Nesta parte da lição, vamos discutir a fidelidade entre estados quânticos, que é uma medida de similaridade entre eles — ou o quanto eles "se sobrepõem."

Dados dois vetores de estado quântico, a fidelidade entre os estados puros associados a esses vetores é igual ao valor absoluto do produto interno entre os vetores de estado quântico. Isso fornece uma maneira básica de medir a similaridade entre eles: o resultado é um valor entre $0$ e $1,$ com valores maiores indicando maior similaridade. Em particular, o valor é zero para estados ortogonais (por definição), enquanto o valor é $1$ para estados equivalentes a menos de uma fase global.

Em termos intuitivos, a fidelidade pode ser vista como uma extensão dessa medida básica de similaridade, de vetores de estado quântico para matrizes densidade.

Definição de fidelidade

É natural começar com uma definição de fidelidade. À primeira vista, a definição a seguir pode parecer incomum ou misteriosa, e talvez não seja fácil de trabalhar com ela. A função que ela define, no entanto, acaba tendo muitas propriedades interessantes e múltiplas formulações alternativas, tornando-a muito mais conveniente de usar do que pode parecer inicialmente.

Definição

Sejam $\rho$ e $\sigma$ matrizes densidade representando estados quânticos do mesmo sistema. A fidelidade entre $\rho$ e $\sigma$ é definida como

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

Observação

Embora essa seja uma definição comum, também é comum que a fidelidade seja definida como o quadrado da quantidade aqui definida, que é então chamada de fidelidade-raiz. Nenhuma das definições está certa ou errada — é essencialmente uma questão de preferência. No entanto, é sempre preciso ter cuidado para entender ou deixar claro qual definição está sendo usada.

Para entender a fórmula na definição, observe primeiro que $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ é uma matriz semidefinida positiva:

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

para $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}.$ Como toda matriz semidefinida positiva, essa matriz semidefinida positiva possui uma única raiz quadrada semidefinida positiva, cuja traço é a fidelidade.

Para toda matriz quadrada $M,$ os autovalores das duas matrizes semidefinidas positivas $M^{\dagger} M$ e $M M^{\dagger}$ são sempre os mesmos e, portanto, o mesmo vale para as raízes quadradas dessas matrizes. Escolhendo $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ e usando o fato de que o traço de uma matriz quadrada é a soma de seus autovalores, obtemos

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

Assim, embora não seja imediato a partir da definição, a fidelidade é simétrica em seus dois argumentos.

Fidelidade em termos da norma de traço

Uma forma equivalente de expressar a fidelidade é por esta fórmula:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

Aqui vemos a norma de traço, que encontramos na lição anterior no contexto de discriminação de estados. A norma de traço de uma matriz $M$ (não necessariamente quadrada) pode ser definida como

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

e ao aplicar essa definição à matriz $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ obtemos a fórmula na definição.

Uma forma alternativa de expressar a norma de traço de uma matriz (quadrada) $M$ é por esta fórmula.

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

Aqui o máximo é sobre todas as matrizes unitárias $U$ com o mesmo número de linhas e colunas que $M.$ Aplicando essa fórmula à situação em questão, revela-se outra expressão para a fidelidade.

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

Fidelidade para estados puros

Um último ponto sobre a definição de fidelidade é que todo estado puro é (como matriz densidade) igual à sua própria raiz quadrada, o que permite simplificar consideravelmente a fórmula para a fidelidade quando um ou ambos os estados são puros. Em particular, se um dos dois estados for puro, temos a seguinte fórmula.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

Se ambos os estados forem puros, a fórmula se simplifica ao valor absoluto do produto interno dos vetores de estado quântico correspondentes, como mencionado no início da seção.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

Propriedades básicas da fidelidade

A fidelidade tem muitas propriedades notáveis e várias formulações alternativas. Aqui estão algumas propriedades básicas listadas sem demonstrações.

1. Para quaisquer duas matrizes densidade $\rho$ e $\sigma$ de mesmo tamanho, a fidelidade $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ está entre zero e um: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ Vale que $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ se e somente se $\rho$ e $\sigma$ têm imagens ortogonais (portanto podem ser discriminados sem erro), e $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ se e somente se $\rho = \sigma.$
2. A fidelidade é multiplicativa, o que significa que a fidelidade entre dois estados produto é igual ao produto das fidelidades individuais: $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$
3. A fidelidade entre estados é não-decrescente sob a ação de qualquer canal. Ou seja, se $\rho$ e $\sigma$ são matrizes densidade e $\Phi$ é um canal que pode receber esses dois estados como entrada, então necessariamente $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$
4. As desigualdades de Fuchs-van de Graaf estabelecem uma relação próxima (embora não exata) entre fidelidade e distância de traço: para quaisquer dois estados $\rho$ e $\sigma$ temos $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

A propriedade final pode ser expressa na forma de uma figura:

Especificamente, para qualquer escolha de estados $\rho$ e $\sigma$ do mesmo sistema, a linha horizontal que cruza o eixo $y$ em $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ e a linha vertical que cruza o eixo $x$ em $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$ devem se cruzar dentro da região cinza delimitada abaixo pela linha $y = 1-x$ e acima pelo círculo unitário. A região mais interessante dessa figura do ponto de vista prático é o canto superior esquerdo da região cinza: se a fidelidade entre dois estados é próxima de um, então a distância de traço entre eles é próxima de zero, e vice-versa.

Lema da medição suave

Em seguida, vamos examinar um fato simples, mas importante, conhecido como o lema da medição suave, que conecta a fidelidade a medições não destrutivas. É um lema muito útil que aparece de tempos em tempos, e também é digno de nota porque a definição aparentemente desajeitada de fidelidade torna o lema muito fácil de demonstrar.

A configuração é a seguinte. Seja $\mathsf{X}$ um sistema no estado $\rho$ e seja $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ uma coleção de matrizes semidefinidas positivas representando uma medição geral de $\mathsf{X}.$ Suponha ainda que, se essa medição for realizada no sistema $\mathsf{X}$ enquanto ele está no estado $\rho,$ um dos resultados seja altamente provável. Para ser concreto, vamos assumir que o resultado de medição provável é $0,$ e especificamente vamos assumir que

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

para um número real positivo pequeno $\varepsilon > 0.$

O que o lema da medição suave afirma é que, sob essas hipóteses, a medição não destrutiva obtida de $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ pelo teorema de Naimark causa apenas uma pequena perturbação em $\rho$ caso o resultado de medição provável $0$ seja observado.

Mais especificamente, o lema afirma que o quadrado da fidelidade entre $\rho$ e o estado que obtemos da medição não destrutiva, condicionado ao resultado ser $0,$ é maior que $1-\varepsilon.$

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

Precisaremos de um fato básico sobre medições para demonstrar isso. As matrizes de medição $P_0, \ldots, P_{m-1}$ são semidefinidas positivas e somam à identidade, o que nos permite concluir que todos os autovalores de $P_0$ são números reais entre $0$ e $1.$ Isso decorre do fato de que, para qualquer vetor unitário $\vert\psi\rangle,$ o valor $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ é um número real não-negativo para cada $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ (pois cada $P_a$ é semidefinido positivo), junto com o fato de que esses números somam a um.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

Portanto, $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ é sempre um número real entre $0$ e $1,$ e isso implica que todo autovalor de $P_0$ é um número real entre $0$ e $1,$ pois podemos escolher $\vert\psi\rangle$ especificamente como um autovetor unitário correspondente a qualquer autovalor de interesse.

A partir dessa observação, podemos concluir a seguinte desigualdade para toda matriz densidade $\rho.$

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

Em mais detalhes, partindo de uma decomposição espectral

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

concluímos que

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

a partir do fato de que $\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ é um número real não-negativo e $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ para cada $k = 0,\ldots,n-1.$ (Elevar ao quadrado números entre $0$ e $1$ nunca pode torná-los maiores.)

Agora podemos demonstrar o lema da medição suave avaliando a fidelidade e usando nossa desigualdade. Primeiro, vamos simplificar a expressão que nos interessa.

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

Observe que essas são todas igualdades — não usamos nossa desigualdade (nem qualquer outra desigualdade) até este ponto, portanto temos uma expressão exata para a fidelidade. Podemos agora usar nossa desigualdade para concluir

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

e, portanto, elevando ambos os lados ao quadrado,

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

Teorema de Uhlmann

Para concluir a lição, vamos examinar o teorema de Uhlmann, que é um fato fundamental sobre a fidelidade que a conecta com a noção de purificação. O que o teorema afirma, em termos simples, é que a fidelidade entre quaisquer dois estados quânticos é igual ao máximo do produto interno (em valor absoluto) entre duas purificações desses estados.

Teorema

Teorema de Uhlmann: Sejam $\rho$ e $\sigma$ matrizes densidade representando estados de um sistema $\mathsf{X},$ e seja $\mathsf{Y}$ um sistema com pelo menos tantos estados clássicos quanto $\mathsf{X}.$ A fidelidade entre $\rho$ e $\sigma$ é dada por

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

onde o máximo é tomado sobre todos os vetores de estado quântico $\vert\phi\rangle$ e $\vert\psi\rangle$ de $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Podemos demonstrar esse teorema usando a equivalência unitária de purificações — mas não é completamente direto e faremos uso de um truque ao longo do caminho.

Para começar, considere as decomposições espectrais das duas matrizes densidade $\rho$ e $\sigma.$

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

As duas coleções $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ e $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ são bases ortonormais de autovetores de $\rho$ e $\sigma,$ respectivamente, e $p_0,\ldots,p_{n-1}$ e $q_0,\ldots,q_{n-1}$ são os autovalores correspondentes.

Também vamos definir $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ e $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ como os vetores obtidos tomando o conjugado complexo de cada entrada de $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ e $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle.$ Ou seja, para um vetor arbitrário $\vert w\rangle$ podemos definir $\vert\overline{w}\rangle$ de acordo com a seguinte equação para cada $c\in\{0,\ldots,n-1\}.$

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

Observe que para quaisquer dois vetores $\vert u\rangle$ e $\vert v\rangle$ temos $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle.$ Mais geralmente, para qualquer matriz quadrada $M$ temos a seguinte fórmula.

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

Segue que $\vert u\rangle$ e $\vert v\rangle$ são ortogonais se e somente se $\vert \overline{u}\rangle$ e $\vert \overline{v}\rangle$ são ortogonais, e portanto $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ e $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ são ambas bases ortonormais.

Agora considere os dois vetores a seguir $\vert\phi\rangle$ e $\vert\psi\rangle,$ que são purificações de $\rho$ e $\sigma,$ respectivamente.

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

Esse é o truque mencionado anteriormente. Nada indica explicitamente neste ponto que é uma boa ideia fazer essas escolhas particulares para purificações de $\rho$ e $\sigma,$ mas elas são purificações válidas, e as conjugações complexas permitirão que a álgebra funcione da maneira que precisamos.

Pela equivalência unitária de purificações, sabemos que toda purificação de $\rho$ para o par de sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ deve ter a forma $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ para alguma matriz unitária $U,$ e da mesma forma toda purificação de $\sigma$ para o par $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ deve ter a forma $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ para alguma matriz unitária $V.$ O produto interno de duas dessas purificações pode ser simplificado da seguinte forma.

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

À medida que $U$ e $V$ variam sobre todas as matrizes unitárias possíveis, a matriz $(U^{\dagger} V)^T$ também varia sobre todas as matrizes unitárias possíveis. Assim, maximizar o valor absoluto do produto interno de duas purificações de $\rho$ e $\sigma$ resulta na seguinte equação.

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

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