Formulações matemáticas de medições

A lição começa com duas descrições matemáticas equivalentes de medições:

1. Medições gerais podem ser descritas por coleções de matrizes, uma para cada resultado de medição, de forma que generaliza a descrição de medições projetivas.
2. Medições gerais podem ser descritas como canais cujas saídas são sempre estados clássicos (representados por matrizes de densidade diagonais).

Vamos restringir nossa atenção a medições com finitos resultados possíveis. Embora seja possível definir medições com infinitos resultados possíveis, elas são muito menos comuns no contexto de computação e processamento de informação, e também exigem matemática adicional (a saber, teoria da medida) para serem formalizadas adequadamente.

Nosso foco inicial será nas chamadas medições destrutivas, em que a saída da medição é apenas um resultado clássico — sem nenhuma especificação do estado quântico pós-medição do sistema que foi medido. Intuitivamente, podemos imaginar que tal medição destrói o próprio sistema quântico, ou que o sistema é descartado imediatamente após a medição ser realizada. Mais adiante na lição vamos ampliar nossa visão e considerar medições não destrutivas, em que há tanto um resultado clássico quanto um estado quântico pós-medição do sistema medido.

Medições como coleções de matrizes

Suponha que $\mathsf{X}$ é um sistema a ser medido, e assuma por simplicidade que o conjunto de estados clássicos de $\mathsf{X}$ é $\{0,\ldots, n-1\}$ para algum inteiro positivo $n,$ de modo que as matrizes de densidade que representam estados quânticos de $\mathsf{X}$ são matrizes $n\times n$. Na verdade, não precisaremos muito nos referir aos estados clássicos de $\mathsf{X},$ mas será conveniente nos referir a $n,$ o número de estados clássicos de $\mathsf{X}.$ Também vamos assumir que os resultados possíveis da medição são os inteiros $0,\ldots,m-1$ para algum inteiro positivo $m.$

Note que estamos apenas usando esses nomes para manter as coisas simples; é direto generalizar tudo que se segue para outros conjuntos finitos de estados clássicos e resultados de medição, renomeando-os conforme desejado.

Medições projetivas

Lembre-se de que uma medição projetiva é descrita por uma coleção de matrizes de projeção que somam à matriz identidade. Em símbolos,

$$\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$$

descreve uma medição projetiva de $\mathsf{X}$ se cada $\Pi_a$ é uma matriz de projeção $n\times n$ e a seguinte condição é satisfeita.

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

Quando tal medição é realizada em um sistema $\mathsf{X}$ enquanto ele está em um estado descrito por algum vetor de estado quântico $\vert\psi\rangle,$ cada resultado $a$ é obtido com probabilidade igual a $\|\Pi_a\vert\psi\rangle\|^2.$ Também temos que o estado pós-medição de $\mathsf{X}$ é obtido normalizando o vetor $\Pi_a\vert\psi\rangle,$ mas estamos ignorando o estado pós-medição por enquanto.

Se o estado de $\mathsf{X}$ é descrito por uma matriz de densidade $\rho$ em vez de um vetor de estado quântico $\vert\psi\rangle,$ então podemos expressar alternativamente a probabilidade de obter o resultado $a$ como $\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho).$

Se $\rho = \vert \psi\rangle\langle\psi\vert$ é um estado puro, então as duas expressões são iguais:

$$\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho) = \operatorname{Tr}(\Pi_a \vert \psi\rangle\langle\psi \vert) = \langle \psi \vert \Pi_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Pi_a \Pi_a \vert \psi \rangle = \|\Pi_a\vert\psi\rangle\|^2.$$

Aqui estamos usando a propriedade cíclica do traço para a segunda igualdade, e para a terceira igualdade estamos usando o fato de que cada $\Pi_a$ é uma matriz de projeção e, portanto, satisfaz $\Pi_a^2 = \Pi_a.$

Em geral, se $\rho$ é uma combinação convexa

$$\rho = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \vert \psi_k\rangle\langle \psi_k \vert$$

de estados puros, então a expressão $\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho)$ coincide com a probabilidade média do resultado $a,$ graças ao fato de que essa expressão é linear em $\rho.$

$$\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \operatorname{Tr}(\Pi_a \vert \psi_k\rangle\langle\psi_k\vert) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \|\Pi_a\vert\psi_k\rangle\|^2$$

Medições gerais

Uma descrição matemática para medições gerais é obtida relaxando a definição de medições projetivas. Especificamente, permitimos que as matrizes da coleção que descreve a medição sejam matrizes semidefinidas positivas arbitrárias em vez de projeções. (Projeções são sempre semidefinidas positivas; elas podem ser alternativamente definidas como matrizes semidefinidas positivas cujos autovalores são todos 0 ou 1.)

Em particular, uma medição geral de um sistema $\mathsf{X}$ com resultados $0,\ldots,m-1$ é especificada por uma coleção de matrizes semidefinidas positivas $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ cujas linhas e colunas correspondem aos estados clássicos de $\mathsf{X}$ e que satisfazem a condição

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

Se o sistema $\mathsf{X}$ é medido enquanto está em um estado descrito pela matriz de densidade $\rho,$ então cada resultado $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ aparece com probabilidade $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Como naturalmente devemos exigir, o vetor de probabilidades dos resultados

$$\bigl(\operatorname{Tr}(P_0 \rho),\ldots,\operatorname{Tr}(P_{m-1} \rho)\bigr)$$

de uma medição geral sempre forma um vetor de probabilidades, para qualquer escolha de matriz de densidade $\rho.$ As duas observações a seguir estabelecem que esse é o caso.

1. Cada valor $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$ deve ser não negativo, em razão do fato de que o traço do produto de quaisquer duas matrizes semidefinidas positivas é sempre não negativo:

   $$Q, R \geq 0 \; \Rightarrow \: \operatorname{Tr}(QR) \geq 0.$$

   Uma maneira de argumentar esse fato é usar decomposições espectrais de $Q$ e $R$ juntamente com a propriedade cíclica do traço para expressar o traço do produto $QR$ como uma soma de números reais não negativos, que portanto deve ser não negativa.

2. A condição $P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ junto com a linearidade do traço garante que as probabilidades somam $1.$

   $$\sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) = \operatorname{Tr}\Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \rho\Biggr) = \operatorname{Tr}(\mathbb{I}\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

Exemplo 1: qualquer medição projetiva

Projeções são sempre semidefinidas positivas, portanto toda medição projetiva é um exemplo de medição geral.

Por exemplo, uma medição na base padrão de um qubit pode ser representada por $\{P_0,P_1\}$ onde

$$P_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad P_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Medir um qubit no estado $\rho$ resulta nas seguintes probabilidades de resultado.

$$\begin{aligned} \operatorname{Prob}(\text{outcome} = 0) & = \operatorname{Tr}(P_0 \rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho\bigr) = \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle \\[1mm] \operatorname{Prob}(\text{outcome} = 1) & = \operatorname{Tr}(P_1 \rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\rho\bigr) = \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Exemplo 2: uma medição de qubit não projetiva

Suponha que $\mathsf{X}$ é um qubit, e defina duas matrizes como segue.

$$P_0 = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[2mm] \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \qquad P_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[2mm] -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$$

Ambas são matrizes semidefinidas positivas: são Hermitianas, e em ambos os casos os autovalores são $1/2 \pm \sqrt{5}/6,$ que são ambos positivos. Também temos que $P_0 + P_1 = \mathbb{I},$ e portanto $\{P_0,P_1\}$ descreve uma medição.

Se o estado de $\mathsf{X}$ é descrito por uma matriz de densidade $\rho$ e realizamos essa medição, então a probabilidade de obter o resultado $0$ é $\operatorname{Tr}(P_0 \rho)$ e a probabilidade de obter o resultado $1$ é $\operatorname{Tr}(P_1 \rho).$ Por exemplo, se $\rho = \vert + \rangle \langle + \vert$ então as probabilidades para os dois resultados $0$ e $1$ são as seguintes.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}(P_0 \rho) & = \operatorname{Tr}\left( \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[2mm] \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \right)\\[4mm] & = \biggl(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\biggr) + \biggl(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\biggr)\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\\[4mm] \operatorname{Tr}(P_1 \rho) & = \operatorname{Tr}\left( \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[2mm] -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \right)\\[4mm] & = \biggl(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\biggr) + \biggl(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\biggr)\\ & = 0 + \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \end{aligned}$$

Exemplo 3: medição tetraédrica

Defina quatro vetores de estado quântico de um único qubit como segue.

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert\phi_1\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1\rangle \\ \vert\phi_2\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1\rangle \\ \vert\phi_3\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1\rangle \end{aligned}$$

Esses quatro estados são às vezes conhecidos como estados tetraédricos porque são vértices de um tetraedro regular inscrito na esfera de Bloch.

As coordenadas cartesianas desses quatro estados na esfera de Bloch são

$$(0,0,1),\\[2mm] \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} , 0 , -\frac{1}{3} \right),\\[1mm] \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} , \sqrt{\frac{2}{3}} , -\frac{1}{3} \right),\\[1mm] \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} , -\sqrt{\frac{2}{3}} , -\frac{1}{3} \right),$$

o que pode ser verificado expressando as representações de matrizes de densidade desses estados como combinações lineares de matrizes de Pauli.

$$\vert \phi_0 \rangle\langle \phi_0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_1 \rangle\langle \phi_1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} \\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \sigma_x - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_2 \rangle\langle \phi_2 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{6}} \\[2mm] -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} - \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_x + \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_3 \rangle\langle \phi_3 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \\[2mm] -\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} - \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_x - \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$

Esses quatro estados estão perfeitamente distribuídos na esfera de Bloch, cada um equidistante dos outros três e com os ângulos entre quaisquer dois deles sendo sempre os mesmos.

Agora vamos definir uma medição $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ de um qubit estabelecendo $P_a$ como segue para cada $a=0,\ldots,3.$

$$P_a = \frac{\vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert}{2}$$

Podemos verificar que essa é uma medição válida da seguinte forma.

1. Cada $P_a$ é evidentemente semidefinida positiva, sendo um estado puro dividido por um meio. Ou seja, cada uma é uma matriz Hermitiana e possui um autovalor igual a $1/2$ e todos os outros autovalores iguais a zero.
2. A soma dessas matrizes é a matriz identidade: $P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = \mathbb{I}.$ As expressões dessas matrizes como combinações lineares de matrizes de Pauli tornam isso direto de verificar.

Medições como canais

Uma segunda forma de descrever medições em termos matemáticos é como canais.

A informação clássica pode ser vista como um caso especial de informação quântica, na medida em que podemos identificar estados probabilísticos com matrizes densidade diagonais. Assim, em termos operacionais, podemos pensar nas medições como canais cujas entradas são matrizes que descrevem estados de qualquer sistema sendo medido e cujas saídas são matrizes densidade diagonais que descrevem a distribuição resultante dos resultados de medição.

Veremos em breve que qualquer canal com essa propriedade pode sempre ser escrito em uma forma simples e canônica que se conecta diretamente à descrição de medições como coleções de matrizes semidefinidas positivas. Por outro lado, dada uma medição arbitrária como uma coleção de matrizes, há sempre um canal válido com a propriedade de saída diagonal que descreve a medição em questão, conforme sugerido no parágrafo anterior. Juntando essas observações, concluímos que as duas descrições de medições gerais são equivalentes.

Antes de prosseguir, vamos ser mais precisos sobre a medição, como a estamos encarando como um canal e quais suposições estamos fazendo sobre ela.

Como antes, vamos supor que $\mathsf{X}$ é o sistema a ser medido e que os possíveis resultados da medição são os inteiros $0,\ldots,m-1$ para algum inteiro positivo $m.$ Seja $\mathsf{Y}$ o sistema que armazena os resultados da medição, de modo que seu conjunto de estados clássicos é $\{0,\ldots,m-1\},$ e representamos a medição como um canal chamado $\Phi$ de $\mathsf{X}$ para $\mathsf{Y}.$ Nossa suposição é que $\mathsf{Y}$ é clássico — ou seja, independentemente do estado com que começamos para $\mathsf{X},$ o estado de $\mathsf{Y}$ que obtemos é representado por uma matriz densidade diagonal.

Podemos expressar matematicamente que a saída de $\Phi$ é sempre diagonal da seguinte forma. Primeiro, definimos o canal completamente defasante $\Delta_m$ em $\mathsf{Y}.$

$$\Delta_m(\sigma) = \sum_{a = 0}^{m-1} \langle a \vert \sigma \vert a\rangle \,\vert a\rangle\langle a\vert$$

Esse canal é análogo ao canal qubit completamente defasante $\Delta$ da lição anterior. Como mapeamento linear, ele zera todas as entradas fora da diagonal de uma matriz de entrada e mantém a diagonal inalterada.

E agora, uma forma simples de expressar que uma dada matriz densidade $\sigma$ é diagonal é pela equação $\sigma = \Delta_m(\sigma).$ Em palavras, zerar todas as entradas fora da diagonal de uma matriz densidade não tem efeito se e somente se as entradas fora da diagonal já eram todas zero. O canal $\Phi$ satisfaz portanto nossa suposição — de que $\mathsf{Y}$ é clássico — se e somente se

$$\Phi(\rho) = \Delta_m(\Phi(\rho))$$

para toda matriz densidade $\rho$ representando um estado de $\mathsf{X}.$

Equivalência das formulações

De canais para matrizes

Suponha que temos um canal de $\mathsf{X}$ para $\mathsf{Y}$ com a propriedade de que

$$\Phi(\rho) = \Delta_m(\Phi(\rho))$$

para toda matriz densidade $\rho.$ Isso pode ser expresso alternativamente da seguinte forma.

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \langle a \vert \Phi(\rho) \vert a\rangle\, \vert a\rangle\langle a \vert \tag{1}$$

Como todo canal, podemos expressar $\Phi$ na forma de Kraus para alguma escolha de matrizes de Kraus $A_0,\ldots,A_{N-1}.$

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

Isso nos fornece uma expressão alternativa para as entradas diagonais de $\Phi(\rho)\!:$

$$\begin{aligned} \langle a \vert \Phi(\rho) \vert a\rangle & = \sum_{k = 0}^{N-1} \langle a \vert A_k \rho A_k^{\dagger} \vert a\rangle \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \operatorname{Tr}\bigl( A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k \rho\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}\bigl(P_a\rho\bigr) \end{aligned}$$

para

$$P_a = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k.$$

Assim, para essas mesmas matrizes $P_0,\ldots,P_{m-1}$, podemos expressar o canal $\Phi$ da seguinte forma.

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) \vert a\rangle\langle a\vert$$

Essa expressão é consistente com nossa descrição de medições gerais em termos de matrizes, pois vemos cada resultado de medição aparecendo com probabilidade $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Agora vamos observar que as duas propriedades exigidas da coleção de matrizes $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ para descrever uma medição geral são de fato satisfeitas. A primeira propriedade é que todas são matrizes semidefinidas positivas. Uma forma de ver isso é observar que, para todo vetor $\vert \psi\rangle$ com entradas em correspondência com o estado clássico de $\mathsf{X}$, temos

$$\langle \psi \vert P_a \vert \psi\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \langle \psi \vert A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k\vert \psi\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \bigl\vert\langle a \vert A_k\vert \psi\rangle\bigr\vert^2 \geq 0.$$

A segunda propriedade é que, se somarmos essas matrizes, obtemos a matriz identidade.

$$\begin{aligned} \sum_{a = 0}^{m-1} P_a & = \sum_{a = 0}^{m-1} \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert\Biggr) A_k \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \end{aligned}$$

A última igualdade decorre do fato de que $\Phi$ é um canal, de modo que suas matrizes de Kraus devem satisfazer essa condição.

De matrizes para canais

Agora vamos verificar que, para qualquer coleção $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ de matrizes semidefinidas positivas satisfazendo $P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$ o mapeamento definido por

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) \vert a \rangle\langle a\vert$$

é de fato um canal válido de $\mathsf{X}$ para $\mathsf{Y}.$

Uma forma de fazer isso é calcular a representação de Choi desse mapeamento.

$$\begin{aligned} J(\Phi) & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \vert b \rangle \langle c \vert \otimes \Phi(\vert b \rangle \langle c \vert)\\[1mm] & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \sum_{a = 0}^{m-1} \vert b \rangle \langle c \vert \otimes \operatorname{Tr}(P_a \vert b \rangle \langle c \vert) \vert a \rangle\langle a\vert\\[1mm] & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \sum_{a = 0}^{m-1} \vert b \rangle \langle b \vert P_a^T \vert c \rangle \langle c \vert \otimes \vert a \rangle\langle a\vert\\[1mm] & = \sum_{a = 0}^{m-1} P_a^T \otimes \vert a \rangle\langle a\vert \end{aligned}$$

A transposta de cada $P_a$ é introduzida na terceira igualdade porque

$$\langle c \vert P_a \vert b\rangle = \langle b \vert P_a^T \vert c\rangle.$$

Isso permite que as expressões $\vert b \rangle \langle b \vert$ e $\vert c \rangle \langle c \vert$ apareçam, as quais se simplificam para a matriz identidade ao somar sobre $b$ e $c,$ respectivamente.

Pela suposição de que $P_0,\ldots,P_{m-1}$ são semidefinidas positivas, o mesmo vale para $P_0^{T},\ldots,P_{m-1}^{T}.$ Em particular, transpor uma matriz Hermitiana resulta em outra matriz Hermitiana, e os autovalores de qualquer matriz quadrada e de sua transposta sempre coincidem. Segue-se que $J(\Phi)$ é semidefinida positiva. Traçando o sistema de saída $\mathsf{Y}$ (que é o sistema à direita), obtemos

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \sum_{a = 0}^{m-1} P_a^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

e portanto concluímos que $\Phi$ é um canal.

Medições parciais

Suponha que temos múltiplos sistemas que estão coletivamente em um estado quântico, e uma medição geral é realizada em um dos sistemas. Isso resulta em um dos resultados de medição, selecionado aleatoriamente de acordo com probabilidades determinadas pela medição e pelo estado do sistema antes da medição. O estado resultante dos sistemas restantes dependerá então, em geral, de qual resultado de medição foi obtido.

Vamos examinar como isso funciona para um par de sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ quando o sistema $\mathsf{X}$ é medido. (Estamos nomeando o sistema à direita de $\mathsf{Z}$ porque usaremos $\mathsf{Y}$ para representar o sistema que armazena a saída clássica da medição quando a encaramos como um canal.) Podemos então generalizar facilmente para a situação em que os sistemas têm a ordem invertida, bem como para três ou mais sistemas.

Suponha que o estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ antes da medição é descrito por uma matriz densidade $\rho,$ que podemos escrever da seguinte forma.

$$\rho = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \vert b\rangle\langle c\vert \otimes \rho_{b,c}$$

Nessa expressão estamos assumindo que os estados clássicos de $\mathsf{X}$ são $0,\ldots,n-1.$

Vamos supor que a medição em si é descrita pela coleção de matrizes $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}.$ Essa medição pode ser descrita alternativamente como um canal $\Phi$ de $\mathsf{X}$ para $\mathsf{Y},$ onde $\mathsf{Y}$ é um novo sistema com conjunto de estados clássicos $\{0,\ldots,m-1\}.$ Especificamente, a ação desse canal pode ser expressa da seguinte forma.

$$\Phi(\xi) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \xi)\, \vert a \rangle \langle a \vert$$

Probabilidades dos resultados

Estamos considerando uma medição do sistema $\mathsf{X},$ então as probabilidades com que os diferentes resultados de medição são obtidos podem depender apenas de $\rho_{\mathsf{X}},$ o estado reduzido de $\mathsf{X}.$ Em particular, a probabilidade para cada resultado $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ aparecer pode ser expressa de três formas equivalentes.

$$\operatorname{Tr}\bigl( P_a \rho_{\mathsf{X}}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( P_a \operatorname{Tr}_{\mathsf{Z}}(\rho)\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( (P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho \bigr)$$

A primeira expressão representa naturalmente a probabilidade de se obter o resultado $a$ com base no que já sabemos sobre medições de um único sistema. Para obter a segunda expressão, estamos simplesmente usando a definição $\rho_{\mathsf{X}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Z}}(\rho).$

Para obter a terceira expressão é necessário pensar um pouco mais — e encorajamos você a se convencer de que ela é verdadeira. Uma dica: a equivalência entre a segunda e a terceira expressões na equação anterior não depende de $\rho$ ser uma matriz densidade nem de cada $P_a$ ser semidefinida positiva. Tente mostrar isso primeiro para produtos tensoriais da forma $\rho = M\otimes N$ e depois conclua que deve ser verdadeiro em geral pela linearidade.

Embora a equivalência entre a primeira e a terceira expressões na equação anterior possa não ser imediata, ela faz sentido. A partir de uma medição em $\mathsf{X},$ estamos efetivamente definindo uma medição de $(\mathsf{X},\mathsf{Z}),$ na qual simplesmente descartamos $\mathsf{Z}$ e medimos $\mathsf{X}.$ Como toda medição, essa nova medição pode ser descrita por uma coleção de matrizes, e não é surpreendente que essa medição seja descrita pela coleção

$$\{P_0\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}, \ldots, P_{m-1}\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}\}.$$

Estados condicionados nos resultados de medição

Se quisermos determinar não apenas as probabilidades dos diferentes resultados, mas também o estado resultante de $\mathsf{Z}$ condicionado a cada resultado de medição, podemos recorrer à descrição do canal de medição. Em particular, vamos examinar o estado que obtemos quando aplicamos $\Phi$ a $\mathsf{X}$ e não fazemos nada com $\mathsf{Z}.$

$$\begin{aligned} (\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}})(\rho) & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \Phi(\vert b\rangle\langle c\vert) \otimes \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}(P_a \vert b\rangle\langle c\vert) \,\vert a\rangle \langle a \vert \otimes \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}(P_a \vert b\rangle\langle c\vert) \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) (\vert b\rangle\langle c\vert\otimes\rho_{b,c})\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho\bigr) \end{aligned}$$

Note que isso é uma matriz densidade em virtude do fato de que $\Phi$ é um canal, de modo que cada matriz $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$ é necessariamente semidefinida positiva.

Um passo final transforma essa expressão em uma que revela o que estamos procurando.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}{\operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}$$

Esse é um exemplo de um estado clássico-quântico,

$$\sum_{a = 0}^{m-1} p(a)\, \vert a\rangle\langle a\vert \otimes \sigma_a,$$

como vimos na lição de Matrizes densidade. Para cada resultado de medição $a\in\{0,\ldots,m-1\},$ temos com probabilidade

$$p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$$

que $\mathsf{Y}$ está no estado clássico $\vert a \rangle \langle a \vert$ e $\mathsf{Z}$ está no estado

$$\sigma_a = \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}{\operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}. \tag{2}$$

Ou seja, essa é a matriz densidade que obtemos normalizando

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$$

dividindo-a pelo seu traço. (Formalmente, o estado $\sigma_a$ só é definido quando a probabilidade $p(a)$ é não nula; quando $p(a) = 0$, esse estado é irrelevante, pois se refere a um evento discreto que ocorre com probabilidade zero.)

Naturalmente, as probabilidades dos resultados são consistentes com nossas observações anteriores.

Em resumo, isso é o que acontece quando a medição $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ é realizada em $\mathsf{X}$ quando $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ está no estado $\rho.$

1. Cada resultado $a$ aparece com probabilidade $p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho).$
2. Condicionado ao resultado $a,$ o estado de $\mathsf{Z}$ é então representado pela matriz densidade $\sigma_a$ mostrada na equação $(2),$ que é obtida normalizando $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho).$

Generalização

Podemos adaptar essa descrição a outras situações, como quando a ordem dos sistemas é invertida ou quando há três ou mais sistemas. Conceitualmente é simples, embora possa ser trabalhoso escrever as fórmulas.

Em geral, se temos $r$ sistemas $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_r,$ o estado do sistema composto $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_r)$ é $\rho,$ e a medição $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ é realizada em $\mathsf{X}_k$, ocorre o seguinte.

1. Cada resultado $a$ aparece com probabilidade

   $$p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr).$$

2. Condicionado ao resultado $a,$ o estado de $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_{k-1},\mathsf{X}_{k+1},\ldots,\mathsf{X}_r)$ é então representado pela seguinte matriz densidade.

   $$\frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}_k}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr)}{\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr)}$$