Discriminação e tomografia de estados quânticos

Na última parte da aula, vamos considerar brevemente duas tarefas associadas a medições: discriminação de estados quânticos e tomografia de estados quânticos.

1. Discriminação de estados quânticos

   Na discriminação de estados quânticos, temos uma coleção conhecida de estados quânticos $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$, juntamente com probabilidades $p_0,\ldots,p_{m-1}$ associadas a esses estados. Uma forma concisa de expressar isso é dizer que temos um ensemble

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   de estados quânticos.

   Um número $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ é escolhido aleatoriamente de acordo com as probabilidades $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ e o sistema $\mathsf{X}$ é preparado no estado $\rho_a$. O objetivo é determinar, por meio de uma medição apenas de $\mathsf{X}$, qual valor de $a$ foi escolhido.

   Assim, temos um número finito de alternativas, juntamente com uma distribuição a priori — que é o nosso conhecimento da probabilidade de cada $a$ ser selecionado — e o objetivo é determinar qual alternativa realmente aconteceu. Isso pode ser fácil para algumas escolhas de estados e probabilidades, e para outras pode não ser possível sem alguma chance de cometer um erro.

2. Tomografia de estados quânticos

   Na tomografia de estados quânticos, temos um estado quântico desconhecido de um sistema — portanto, ao contrário da discriminação de estados quânticos, tipicamente não há prior nem qualquer informação sobre possíveis alternativas.

   Desta vez, no entanto, não dispomos de uma única cópia do estado, mas sim de muitas cópias independentes. Ou seja, $N$ sistemas idênticos $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ são cada um preparados independentemente no estado $\rho$ para algum número (possivelmente grande) $N.$ O objetivo é encontrar uma aproximação do estado desconhecido, como uma matriz de densidade, medindo os sistemas.

Discriminando entre dois estados

O caso mais simples de discriminação de estados quânticos é quando há dois estados, $\rho_0$ e $\rho_1,$ que devem ser discriminados.

Imagine uma situação em que um bit $a$ é escolhido aleatoriamente: $a = 0$ com probabilidade $p$ e $a = 1$ com probabilidade $1 - p.$ Um sistema $\mathsf{X}$ é preparado no estado $\rho_a,$ ou seja, $\rho_0$ ou $\rho_1$ dependendo do valor de $a,$ e nos é entregue. Nosso objetivo é adivinhar corretamente o valor de $a$ por meio de uma medição em $\mathsf{X}.$ Para ser preciso, vamos tentar maximizar a probabilidade de que nosso palpite esteja correto.

Uma medição ótima

Uma forma ótima de resolver esse problema começa com uma decomposição espectral de uma diferença ponderada entre $\rho_0$ e $\rho_1$, onde os pesos são as probabilidades correspondentes.

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Observe que temos um sinal de menos em vez de um sinal de mais nessa expressão: esta é uma diferença ponderada, não uma soma ponderada.

Podemos maximizar a probabilidade de um palpite correto selecionando uma medição projetiva $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ da seguinte forma. Primeiro, vamos particionar os elementos de $\{0,\ldots,n-1\}$ em dois conjuntos disjuntos $S_0$ e $S_1$ dependendo se o autovalor correspondente da diferença ponderada é não negativo ou negativo.

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

Podemos então escolher uma medição projetiva da seguinte forma.

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

(Na verdade, não importa em qual conjunto $S_0$ ou $S_1$ incluímos os valores de $k$ para os quais $\lambda_k = 0$. Aqui estamos escolhendo arbitrariamente incluir esses valores em $S_0$.)

Esta é uma medição ótima na situação em questão que minimiza a probabilidade de uma determinação incorreta do estado selecionado.

Probabilidade de acerto

Agora vamos determinar a probabilidade de acerto para a medição $\{\Pi_0,\Pi_1\}$.

Para começar, não precisamos nos preocupar com a escolha específica que fizemos para $\Pi_0$ e $\Pi_1$, embora possa ser útil tê-la em mente. Para qualquer medição $\{P_0,P_1\}$ (não necessariamente projetiva) podemos escrever a probabilidade de acerto da seguinte forma.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

Usando o fato de que $\{P_0,P_1\}$ é uma medição, portanto $P_1 = \mathbb{I} - P_0$, podemos reescrever essa expressão da seguinte forma.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

Por outro lado, poderíamos ter feito a substituição $P_0 = \mathbb{I} - P_1$ em vez disso. Isso não mudaria o valor, mas nos dá uma expressão alternativa.

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

As duas expressões têm o mesmo valor, então podemos fazer a média delas para obter mais uma expressão para esse valor. (Fazer a média das duas expressões é apenas um truque para simplificar a expressão resultante.)

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

Agora podemos ver por que faz sentido escolher as projeções $\Pi_0$ e $\Pi_1$ (conforme especificado acima) para $P_0$ e $P_1$, respectivamente — porque é assim que podemos tornar o traço na expressão final o maior possível. Em particular,

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

Assim, ao calcularmos o traço, obtemos a soma dos valores absolutos dos autovalores — o que é igual ao que é conhecido como a norma de traço da diferença ponderada.

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Assim, a probabilidade de que a medição $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ leve a uma discriminação correta de $\rho_0$ e $\rho_1$, dadas com probabilidades $p$ e $1-p$, respectivamente, é a seguinte.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

O fato de que esta é a probabilidade ótima para uma discriminação correta de $\rho_0$ e $\rho_1$, dadas com probabilidades $p$ e $1-p$, é comumente referido como o teorema de Helstrom–Holevo (ou às vezes apenas teorema de Helstrom).

Discriminando três ou mais estados

Para a discriminação de estados quânticos quando há três ou mais estados, não há solução analítica conhecida em forma fechada para uma medição ótima, embora seja possível formular o problema como um programa semidefinido — o que permite aproximações numéricas eficientes de medições ótimas com a ajuda de um computador.

Também é possível verificar (ou refutar) a otimalidade de uma determinada medição em uma tarefa de discriminação de estados por meio de uma condição conhecida como a condição de Holevo-Yuen-Kennedy-Lax. Em particular, para a tarefa de discriminação de estados definida pelo ensemble

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\},$$

a medição $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ é ótima se e somente se a matriz

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

é semidefinida positiva para todo $a\in\{0,\ldots,m-1\}$.

Por exemplo, considere a tarefa de discriminação de estados quânticos na qual um dos quatro estados tetraédricos $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ é selecionado uniformemente ao acaso. A medição tetraédrica $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ tem sucesso com probabilidade

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

Isso é ótimo pela condição de Holevo-Yuen-Kennedy-Lax, como um cálculo revela que

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

for $a = 0,1,2,3$.

Tomografia de estados quânticos

Por fim, vamos discutir brevemente o problema da tomografia de estados quânticos. Para esse problema, recebemos um grande número $N$ de cópias independentes de um estado quântico desconhecido $\rho$, e o objetivo é reconstruir uma aproximação $\tilde{\rho}$ de $\rho$. Para ser claro, isso significa que queremos encontrar uma descrição clássica de uma matriz de densidade $\tilde{\rho}$ que seja a mais próxima possível de $\rho$.

Podemos descrever a configuração de forma alternativa da seguinte maneira. Uma matriz de densidade desconhecida $\rho$ é selecionada, e recebemos acesso a $N$ sistemas quânticos $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$, cada um dos quais foi preparado independentemente no estado $\rho$. Assim, o estado do sistema composto $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ é

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ vezes)}$$

O objetivo é realizar medições nos sistemas $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ e, com base nos resultados dessas medições, computar uma matriz de densidade $\tilde{\rho}$ que aproxime bem $\rho$. Esse acaba sendo um problema fascinante e há pesquisas em andamento sobre ele.

Diferentes tipos de estratégias para abordar o problema podem ser considerados. Por exemplo, podemos imaginar uma estratégia em que cada um dos sistemas $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ é medido separadamente, um de cada vez, produzindo uma sequência de resultados de medição. Diferentes escolhas específicas de quais medições são realizadas podem ser feitas, incluindo seleções adaptativas e não adaptativas. Em outras palavras, a escolha de qual medição é realizada em um sistema específico pode ou não depender dos resultados das medições anteriores. Com base na sequência de resultados de medição, um palpite $\tilde{\rho}$ para o estado $\rho$ é derivado — e aqui também há diferentes metodologias para fazer isso.

Uma abordagem alternativa é realizar uma única medição conjunta de toda a coleção, onde tratamos $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ como um único sistema e selecionamos uma única medição cujo resultado é um palpite $\tilde{\rho}$ para o estado $\rho$. Isso pode levar a uma estimativa melhorada em relação ao que é possível para medições separadas dos sistemas individuais, embora uma medição conjunta de todos os sistemas juntos provavelmente seja muito mais difícil de implementar.

Tomografia de qubit usando medições de Pauli

Vamos considerar agora a tomografia de estados quânticos no caso simples em que $\rho$ é uma matriz de densidade de qubit. Assumimos que recebemos qubits $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ que estão cada um independentemente no estado $\rho$, e nosso objetivo é computar uma aproximação $\tilde{\rho}$ que seja próxima de $\rho$.

Nossa estratégia será dividir os $N$ qubits $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ em três coleções de tamanho aproximadamente igual, uma para cada uma das três matrizes de Pauli $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ e $\sigma_z.$ Cada qubit é então medido independentemente da seguinte forma.

1. Para cada um dos qubits na coleção associada a $\sigma_x$, realizamos uma medição $\sigma_x$. Isso significa que o qubit é medido em relação à base $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\},$ que é uma base ortonormal de autovetores de $\sigma_x,$ e os resultados de medição correspondentes são os autovalores associados aos dois autovetores: $+1$ para o estado $\vert + \rangle$ e $-1$ para o estado $\vert -\rangle.$ Fazendo a média dos resultados sobre todos os estados na coleção associada a $\sigma_x,$ obtemos uma aproximação do valor esperado

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. Para cada um dos qubits na coleção associada a $\sigma_y$, realizamos uma medição $\sigma_y$. Tal medição é semelhante a uma medição $\sigma_x$, exceto que a base de medição é $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\}$, os autovetores de $\sigma_y$. Fazendo a média dos resultados sobre todos os estados na coleção associada a $\sigma_y$, obtemos uma aproximação do valor esperado

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. Para cada um dos qubits na coleção associada a $\sigma_z$, realizamos uma medição $\sigma_z$. Desta vez, a base de medição é a base padrão $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\}$, os autovetores de $\sigma_z$. Fazendo a média dos resultados sobre todos os estados na coleção associada a $\sigma_z$, obtemos uma aproximação do valor esperado

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

Depois de obtermos aproximações

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

fazendo a média dos resultados de medição para cada coleção, podemos aproximar $\rho$ como

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

No limite em que $N$ tende ao infinito, essa aproximação converge em probabilidade para a verdadeira matriz de densidade $\rho$ pela lei dos grandes números, e limites estatísticos bem conhecidos (como a desigualdade de Hoeffding) podem ser usados para limitar a probabilidade de que a aproximação $\tilde{\rho}$ desvie de $\rho$ por diferentes quantidades.

Uma coisa importante a reconhecer, no entanto, é que a matriz $\tilde{\rho}$ obtida dessa forma pode não ser uma matriz de densidade. Em particular, embora ela sempre tenha traço igual a $1$, pode não ser semidefinida positiva. Existem diferentes estratégias conhecidas para "arredondar" tal aproximação $\tilde{\rho}$ para uma matriz de densidade, uma delas sendo computar uma decomposição espectral, substituir quaisquer autovalores negativos por $0$, e então renormalizar (dividindo a matriz obtida pelo seu traço).

Tomografia de qubit usando a medição tetraédrica

Outra opção para realizar a tomografia de qubit é medir cada qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ usando a medição tetraédrica $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ descrita anteriormente. Ou seja,

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

para

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

Cada resultado é obtido um certo número de vezes, que denotaremos como $n_a$ para cada $a\in\{0,1,2,3\}$, de modo que $n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N$. A razão entre esses números e $N$ fornece uma estimativa da probabilidade associada a cada resultado possível:

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

Por fim, vamos fazer uso da seguinte fórmula notável:

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Para estabelecer essa fórmula, podemos usar a seguinte equação para os valores absolutos ao quadrado dos produtos internos dos estados tetraédricos, que pode ser verificada por meio de cálculos diretos.

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

As quatro matrizes

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

são linearmente independentes, portanto é suficiente provar que a fórmula é verdadeira quando $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ para $b = 0,1,2,3$. Em particular,

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

e portanto

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

Chegamos a uma aproximação de $\rho$:

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Essa aproximação sempre será uma matriz hermitiana com traço igual a um, mas pode não ser semidefinida positiva. Nesse caso, a aproximação deve ser "arredondada" para uma matriz de densidade, semelhante à estratégia envolvendo medições de Pauli.