Fundamentos de canais quânticos

Em termos matemáticos, canais são mapeamentos lineares de matrizes densidade para matrizes densidade que satisfazem certos requisitos. Ao longo desta lição, usaremos letras gregas maiúsculas, incluindo $\Phi$ e $\Psi,$ bem como algumas outras letras em casos específicos, para nos referirmos a canais.

Todo canal $\Phi$ tem um sistema de entrada e um sistema de saída, e tipicamente usaremos o nome $\mathsf{X}$ para o sistema de entrada e $\mathsf{Y}$ para o sistema de saída. É comum que o sistema de saída de um canal seja o mesmo que o sistema de entrada, e nesse caso podemos usar a mesma letra $\mathsf{X}$ para nos referirmos aos dois.

Canais são mapeamentos lineares

Canais são descritos por mapeamentos lineares, assim como as operações probabilísticas na formulação padrão da informação clássica e as operações unitárias na formulação simplificada da informação quântica.

Se um canal $\Phi$ é aplicado a um sistema de entrada $\mathsf{X}$ cujo estado é descrito por uma matriz densidade $\rho,$ então o sistema de saída do canal é descrito pela matriz densidade $\Phi(\rho).$ Na situação em que o sistema de saída de $\Phi$ também é $\mathsf{X},$ podemos simplesmente ver o canal como representando uma mudança no estado de $\mathsf{X},$ de $\rho$ para $\Phi(\rho).$ Quando o sistema de saída de $\Phi$ é um sistema diferente, $\mathsf{Y},$ em vez de $\mathsf{X},$ deve-se entender que $\mathsf{Y}$ é um novo sistema criado pelo processo de aplicação do canal, e que o sistema de entrada, $\mathsf{X},$ não está mais disponível após a aplicação do canal — como se o próprio canal tivesse transformado $\mathsf{X}$ em $\mathsf{Y},$ deixando-o no estado $\Phi(\rho).$

A suposição de que canais são descritos por mapeamentos lineares pode ser vista como um axioma — ou seja, um postulado básico da teoria, e não algo que se prova. Podemos, porém, perceber a necessidade de que os canais atuem linearmente sobre combinações convexas de entradas de matrizes densidade, para que sejam consistentes com a teoria das probabilidades e com o que já aprendemos sobre matrizes densidade.

Para ser mais preciso, suponha que temos um canal $\Phi$ e o aplicamos a um sistema quando ele está em um de dois estados representados pelas matrizes densidade $\rho$ e $\sigma.$ Se aplicarmos o canal a $\rho$ obtemos a matriz densidade $\Phi(\rho)$, e se o aplicarmos a $\sigma$ obtemos a matriz densidade $\Phi(\sigma).$ Assim, se escolhermos aleatoriamente o estado de entrada de $\mathsf{X}$ como $\rho$ com probabilidade $p$ e $\sigma$ com probabilidade $1-p,$ obteremos o estado de saída $\Phi(\rho)$ com probabilidade $p$ e $\Phi(\sigma)$ com probabilidade $1-p,$ o que representamos pela média ponderada de matrizes densidade como $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$

Por outro lado, poderíamos pensar no estado de entrada do canal como sendo representado pela média ponderada $p\rho + (1-p)\sigma,$ caso em que a saída é $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma).$ É o mesmo estado independentemente de como escolhemos pensar sobre ele, portanto devemos ter

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

Sempre que temos um mapeamento que satisfaz essa condição para toda escolha de matrizes densidade $\rho$ e $\sigma$ e escalares $p\in [0,1],$ há sempre uma maneira única de estender esse mapeamento para toda entrada matricial (isto é, não apenas entradas de matrizes densidade) de forma que ele seja linear.

Canais transformam matrizes densidade em matrizes densidade

Naturalmente, além de serem mapeamentos lineares, os canais também precisam transformar matrizes densidade em matrizes densidade. Se um canal $\Phi$ é aplicado a um sistema de entrada enquanto esse sistema está em um estado representado por uma matriz densidade $\rho,$ então obtemos um sistema cujo estado é representado por $\Phi(\rho),$ que deve ser uma matriz densidade válida para que possamos interpretá-la como um estado.

É de extrema importância, no entanto, que consideremos uma situação mais geral, em que um canal $\Phi$ transforma um sistema $\mathsf{X}$ em um sistema $\mathsf{Y}$ na presença de um sistema adicional $\mathsf{Z}$ ao qual nada acontece. Ou seja, se começarmos com o par de sistemas $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ em um estado descrito por alguma matriz densidade, e então aplicarmos $\Phi$ apenas a $\mathsf{X},$ transformando-o em $\mathsf{Y},$ devemos obter uma matriz densidade descrevendo um estado do par $(\mathsf{Z},\mathsf{Y}).$

Podemos descrever em termos matemáticos como um canal $\Phi,$ com sistema de entrada $\mathsf{X}$ e sistema de saída $\mathsf{Y},$ transforma um estado do par $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ em um estado de $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ quando nada é feito a $\mathsf{Z}.$ Para simplificar, vamos supor que o conjunto de estados clássicos de $\mathsf{Z}$ é $\{0,\ldots,m-1\}.$ Isso nos permite escrever uma matriz densidade arbitrária $\rho,$ representando um estado de $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ na forma a seguir.

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

No lado direito desta equação temos uma matriz em blocos, que podemos pensar como uma matriz de matrizes, exceto que os parênteses internos são removidos. Isso nos deixa com uma matriz ordinária que pode ser alternativamente descrita usando a notação de Dirac como temos na expressão do meio. Cada matriz $\rho_{a,b}$ tem linhas e colunas correspondentes aos estados clássicos de $\mathsf{X},$ e essas matrizes podem ser determinadas por uma fórmula simples.

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

Note que estas não são matrizes densidade em geral — é apenas quando estão dispostas juntas para formar $\rho$ que obtemos uma matriz densidade.

A equação a seguir descreve o estado de $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ que é obtido quando $\Phi$ é aplicado a $\mathsf{X}.$

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

Observe que, para avaliar essa expressão para uma dada escolha de $\Phi$ e $\rho,$ precisamos entender como $\Phi$ funciona como mapeamento linear sobre entradas que não são matrizes densidade, já que cada $\rho_{a,b}$ em geral não será uma matriz densidade por conta própria. A equação é consistente com a expressão $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho),$ em que $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ denota o canal identidade no sistema $\mathsf{Z}.$ Isso pressupõe que estendemos a noção de produto tensorial a mapeamentos lineares de matrizes para matrizes, o que é direto — mas não é realmente essencial para a lição e não será explicado mais adiante.

Reiterando uma afirmação feita acima, para que um mapeamento linear $\Phi$ seja um canal válido, é necessário que, para toda escolha de $\mathsf{Z}$ e toda matriz densidade $\rho$ do par $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ sempre obtenhamos uma matriz densidade quando $\Phi$ é aplicado a $\mathsf{X}.$ Em termos matemáticos, as propriedades que um mapeamento deve possuir para ser um canal são: ser preservador de traço — de forma que a matriz obtida pela aplicação do canal tenha traço igual a um — e ser completamente positivo — de forma que a matriz resultante seja semidefinida positiva. Ambas são propriedades importantes que podem ser consideradas e estudadas separadamente, mas não é essencial para esta lição considerar essas propriedades em isolamento.

Existem, de fato, mapeamentos lineares que sempre produzem uma matriz densidade quando recebem uma matriz densidade como entrada, mas falham em mapear matrizes densidade para matrizes densidade em sistemas compostos, portanto eliminamos alguns mapeamentos lineares da classe dos canais dessa forma. (O mapeamento linear dado pela transposição matricial é o exemplo mais simples.)

Temos uma fórmula análoga à apresentada acima no caso em que os dois sistemas $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Z}$ são trocados, de modo que $\Phi$ é aplicado ao sistema à esquerda em vez do da direita.

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

Isso pressupõe que $\rho$ é um estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ em vez de $(\mathsf{Z},\mathsf{X}).$ Desta vez a descrição em blocos não funciona porque as matrizes $\rho_{a,b}$ não caem em linhas e colunas consecutivas em $\rho,$ mas é a mesma estrutura matemática subjacente.

Qualquer mapeamento linear que satisfaça o requisito de sempre transformar matrizes densidade em matrizes densidade, mesmo quando aplicado a apenas uma parte de um sistema composto, representa um canal válido. Portanto, em sentido abstrato, a noção de canal é determinada pela noção de matriz densidade, juntamente com a suposição de que os canais atuam linearmente. Nesse aspecto, canais são análogos às operações unitárias na formulação simplificada da informação quântica, que são precisamente os mapeamentos lineares que sempre transformam vetores de estado quântico em vetores de estado quântico para um dado sistema; bem como às operações probabilísticas (representadas por matrizes estocásticas) na formulação padrão da informação clássica, que são precisamente os mapeamentos lineares que sempre transformam vetores de probabilidade em vetores de probabilidade.

Operações unitárias como canais

Suponha que $\mathsf{X}$ é um sistema e $U$ é uma matriz unitária representando uma operação em $\mathsf{X}.$ O canal $\Phi$ que descreve essa operação sobre matrizes densidade é definido da seguinte forma para toda matriz densidade $\rho$ representando um estado quântico de $\mathsf{X}.$

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

Essa ação, em que multiplicamos por $U$ à esquerda e por $U^{\dagger}$ à direita, é comumente chamada de conjugação pela matriz $U.$

Essa descrição é consistente com o fato de que a matriz densidade que representa um dado vetor de estado quântico $\vert\psi\rangle$ é $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ Em particular, se a operação unitária $U$ é aplicada a $\vert\psi\rangle,$ então o estado de saída é representado pelo vetor $U\vert\psi\rangle,$ e portanto a matriz densidade que descreve esse estado é igual a

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

Uma vez que sabemos que, como canal, a operação $U$ tem a ação $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ sobre estados puros, podemos concluir por linearidade que ela deve funcionar conforme especificado pela equação $(1)$ acima para qualquer matriz densidade $\rho.$

O canal particular que obtemos quando tomamos $U = \mathbb{I}$ é o canal identidade$\;\operatorname{Id},$ ao qual também podemos dar um subscrito (como $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}},$ que já encontramos) quando queremos indicar explicitamente em qual sistema esse canal atua. Sua saída é sempre igual à sua entrada: $\operatorname{Id}(\rho) = \rho.$ Isso pode não parecer um canal muito interessante, mas na verdade é um dos mais importantes — e é conveniente que este seja nosso primeiro exemplo. O canal identidade é o canal perfeito em alguns contextos, representando uma memória ideal ou uma transmissão perfeita e sem ruído de informação de um remetente para um receptor.

Todo canal definido por uma operação unitária dessa forma é de fato um canal válido: a conjugação por uma matriz $U$ nos dá um mapeamento linear; e se $\rho$ é uma matriz densidade de um sistema $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ e $U$ é unitária, então o resultado, que podemos expressar como

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

também é uma matriz densidade. Especificamente, essa matriz deve ser semidefinida positiva, pois se $\rho = M^{\dagger} M$ então

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

para $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$ e deve ter traço unitário pela propriedade cíclica do traço.

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

Combinações convexas de canais

Suponha que temos dois canais, $\Phi_0$ e $\Phi_1,$ que compartilham o mesmo sistema de entrada e o mesmo sistema de saída. Para qualquer número real $p\in[0,1],$ poderíamos decidir aplicar $\Phi_0$ com probabilidade $p$ e $\Phi_1$ com probabilidade $1-p,$ o que nos dá um novo canal que pode ser escrito como $p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1.$ Explicitamente, a forma como esse canal atua sobre uma dada matriz densidade é especificada pela seguinte equação simples.

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

De forma mais geral, se temos canais $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ e um vetor de probabilidades $(p_0,\ldots, p_{m-1}),$ então podemos combinar esses canais em um novo canal pela média.

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

Isso é uma combinação convexa de canais, e sempre obtemos um canal válido por meio desse processo. Uma forma simples de expressar isso em termos matemáticos é que, para uma dada escolha de sistema de entrada e saída, o conjunto de todos os canais é um conjunto convexo.

Como exemplo, poderíamos escolher aplicar uma de uma coleção de operações unitárias a um determinado sistema. Obtemos o que é conhecido como canal unitário misto, que é um canal que pode ser expresso na seguinte forma.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

Canais unitários mistos para os quais todas as operações unitárias são matrizes de Pauli (ou produtos tensoriais de matrizes de Pauli) são chamados de canais de Pauli, e são frequentemente encontrados na computação quântica.

Exemplos de canais de qubit

Agora veremos alguns exemplos específicos de canais que não são unitários. Para todos esses exemplos, os sistemas de entrada e saída são ambos qubits únicos, ou seja, são exemplos de canais de qubit.

O canal de reset de qubit

Este canal faz algo muito simples: ele reinicia um qubit para o estado $\vert 0\rangle.$ Como mapeamento linear, este canal pode ser expresso da seguinte forma para toda matriz densidade de qubit $\rho.$

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

Embora o traço de toda matriz densidade $\rho$ seja igual a $1,$ escrever o canal dessa forma deixa claro que ele é um mapeamento linear que pode ser aplicado a qualquer matriz $2\times 2,$ não apenas a uma matriz densidade. Como já observamos, precisamos entender como os canais funcionam como mapeamentos lineares sobre entradas que não são matrizes densidade para descrever o que acontece quando são aplicados a apenas uma parte de um sistema composto.

Por exemplo, suponha que $\mathsf{A}$ e $\mathsf{B}$ são qubits e juntos o par $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ está no estado de Bell $\vert \phi^+\rangle.$ Como matriz densidade, esse estado é dado por

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Usando a notação de Dirac podemos alternativamente expressar esse estado da seguinte forma.

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

Ao aplicar o canal de reset de qubit a $\mathsf{A}$ e não fazer nada a $\mathsf{B},$ obtemos o seguinte estado.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

Pode ser tentador dizer que resetar $\mathsf{A}$ teve algum efeito sobre $\mathsf{B},$ fazendo-o se tornar completamente misto — mas em certo sentido é o oposto que ocorre. Antes de $\mathsf{A}$ ser resetado, o estado reduzido de $\mathsf{B}$ já era o estado completamente misto, e isso não muda como resultado de resetar $\mathsf{A}.$

O canal completamente defasante

Aqui está um exemplo de canal de qubit chamado $\Delta,$ descrito por sua ação sobre matrizes $2\times 2$:

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

Em palavras, $\Delta$ zera as entradas fora da diagonal de uma matriz $2\times 2.$ Esse exemplo pode ser generalizado para sistemas arbitrários, e não apenas qubits: para qualquer matriz densidade de entrada, o canal zera todas as entradas fora da diagonal e deixa a diagonal intacta.

Este canal é chamado de canal completamente defasante, e pode ser pensado como representando uma forma extrema do processo conhecido como decoerência — que essencialmente destrói as superposições quânticas e as transforma em estados probabilísticos clássicos.

Outra forma de pensar sobre este canal é que ele descreve uma medição na base padrão em um qubit, onde um qubit de entrada é medido e então descartado, e onde a saída é uma matriz densidade descrevendo o resultado da medição. Alternativamente, mas de forma equivalente, podemos imaginar que o resultado da medição é descartado, deixando o qubit em seu estado pós-medição.

Vamos considerar novamente um e-bit e ver o que acontece quando $\Delta$ é aplicado a apenas um dos dois qubits. Especificamente, temos qubits $\mathsf{A}$ e $\mathsf{B}$ para os quais $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ está no estado $\vert\phi^+\rangle,$ e desta vez vamos aplicar o canal ao segundo qubit. Aqui está o estado que obtemos.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

Alternativamente, podemos expressar essa equação usando matrizes em blocos.

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Também podemos considerar um canal de qubit que defasa o qubit apenas ligeiramente, em vez de defasá-lo completamente, o que é uma forma menos extrema de decoerência do que a representada pelo canal completamente defasante. Em particular, suponha que $\varepsilon \in (0,1)$ é um número real pequeno mas diferente de zero. Podemos definir um canal

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

que transforma uma dada matriz densidade de qubit $\rho$ da seguinte forma:

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

Ou seja, nada acontece com probabilidade $1-\varepsilon,$ e com probabilidade $\varepsilon,$ o qubit defasa. Em termos de matrizes, essa ação pode ser expressa da seguinte forma, onde as entradas diagonais são mantidas e as entradas fora da diagonal são multiplicadas por $1-\varepsilon.$

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

O canal completamente despolarizante

Aqui está outro exemplo de canal de qubit chamado $\Omega.$

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Aqui $\mathbb{I}$ denota a matriz identidade $2\times 2.$ Em palavras, para qualquer matriz densidade de entrada $\rho,$ o canal $\Omega$ produz o estado completamente misto. Não existe canal mais ruidoso do que este! Este canal é chamado de canal completamente despolarizante, e assim como o canal completamente defasante, pode ser generalizado para sistemas arbitrários no lugar de qubits.

Também podemos considerar uma variante menos extrema deste canal onde a despolarização ocorre com probabilidade $\varepsilon,$ semelhante ao que vimos para o canal defasante.

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$