Teorema do limiar

O último tópico de discussão da lição é um teorema muito importante, conhecido como o teorema do limiar. A seguir, uma declaração um pouco informal desse teorema.

Teorema

O teorema do limiar: Um circuito quântico de tamanho $N$ pode ser implementado com alta precisão por um circuito quântico ruidoso, desde que a probabilidade de erro em cada local do circuito ruidoso esteja abaixo de um valor de limiar fixo e não nulo $p_{\text{th}} > 0.$ O tamanho do circuito ruidoso escala como $O(N \log^c(N))$ para uma constante positiva $c.$

Em termos simples, o teorema afirma que, se tivermos qualquer circuito quântico com $N$ gates — onde $N$ pode ser tão grande quanto quisermos —, é possível implementar esse circuito com alta precisão usando um circuito quântico ruidoso, desde que o nível de ruído esteja abaixo de um certo valor de limiar independente de N. Além disso, o custo não é excessivo, no sentido de que o tamanho do circuito ruidoso necessário é da ordem de $N$ vezes alguma potência constante do logaritmo de $N.$

Para enunciar o teorema de forma mais formal, é necessário ser específico sobre o modelo de ruído, o que não será feito nesta lição. É possível, por exemplo, provar o teorema para o modelo de ruído estocástico independente mencionado anteriormente, em que erros ocorrem de forma independente em cada local possível do circuito com alguma probabilidade estritamente menor que o valor de limiar — mas também pode ser provado para modelos de ruído mais gerais, nos quais pode haver correlações entre os erros.

Este é um resultado teórico, e a forma mais típica de prová-lo não se traduz necessariamente em uma abordagem prática; ainda assim, ele tem grande importância prática. Em particular, ele estabelece que não há barreira fundamental para realizar computações quânticas usando componentes ruidosos: desde que a taxa de erros desses componentes esteja abaixo do valor de limiar, eles podem ser usados para construir circuitos quânticos confiáveis de tamanho arbitrário. Uma forma alternativa de expressar sua importância é observar que, se o teorema não fosse verdadeiro, seria difícil imaginar que a computação quântica em larga escala se tornasse realidade.

Há muitos detalhes técnicos envolvidos nas provas formais desse teorema (em suas versões formais), e esses detalhes não serão abordados aqui — mas as ideias essenciais podem, ainda assim, ser explicadas de forma intuitiva. Para tornar essa explicação o mais simples possível, vamos imaginar que usamos o código de Steane de $7$ Qubits para correção de erros. Essa seria uma escolha impraticável para uma implementação física real — o que se refletiria em um valor de limiar $p_{\text{th}}$ minúsculo —, mas funciona bem para transmitir as ideias principais. Essa explicação também será bastante informal quanto ao modelo de ruído, com a suposição de que um erro atinge cada local em uma implementação tolerante a falhas de forma independente com probabilidade $p.$

Agora, se a probabilidade $p$ for maior que o recíproco de $N$ — o tamanho do circuito que queremos implementar —, há grande chance de que um erro ocorra em algum lugar. Assim, podemos tentar executar uma implementação tolerante a falhas desse circuito, seguindo a prescrição delineada na lição. Podemos então nos fazer a pergunta sugerida anteriormente: isso está melhorando ou piorando as coisas?

Se a probabilidade $p$ de um erro em cada local for grande demais, nossos esforços não ajudarão e podem até piorar a situação, assim como o código de Shor de $9$ Qubits não ajuda se a probabilidade de erro estiver acima de aproximadamente 3,23%. Em particular, a implementação tolerante a falhas é consideravelmente maior que nosso circuito original, portanto há muito mais locais onde erros podem ocorrer.

No entanto, se $p$ for pequeno o suficiente, conseguiremos reduzir a probabilidade de erro na computação lógica que estamos realizando. (Em uma prova formal, seria necessário ter muito cuidado nesse ponto: os erros na computação lógica não serão necessariamente descritos com precisão pelo modelo de ruído original. Isso, de fato, motiva modelos de ruído menos permissivos, em que os erros podem não ser independentes — mas vamos ignorar esse detalhe por ora para facilitar a explicação.)

Em maior detalhe, para que um erro lógico ocorra no circuito original, pelo menos dois erros devem cair no mesmo bloco de código na implementação tolerante a falhas, dado que o código de Steane pode corrigir qualquer erro único em um bloco de código. Levando em conta que há muitas formas diferentes de ter dois ou mais erros no mesmo bloco de código, é possível argumentar que a probabilidade de um erro lógico em cada local do circuito original é no máximo $C p^2$ para algum número real positivo fixo $C$ que depende do código e dos gadgets utilizados, mas criticamente não de $N,$ o tamanho do circuito original. Se $p$ for menor que $1/C,$ que é o número que podemos tomar como nosso valor de limiar $p_{\text{th}},$ isso se traduz em uma redução de erro.

No entanto, essa nova taxa de erro ainda pode ser alta demais para permitir que o circuito inteiro funcione corretamente. Uma coisa natural a fazer nesse ponto é escolher um código melhor e gadgets melhores para reduzir a taxa de erro a um nível em que a implementação provavelmente funcionará. Teoricamente falando, uma forma simples de argumentar que isso é possível é concatenar. Ou seja, podemos pensar na implementação tolerante a falhas do circuito original como qualquer outro circuito quântico e, em seguida, implementar esse novo circuito de forma tolerante a falhas, usando o mesmo esquema. Podemos então repetir isso quantas vezes forem necessárias para reduzir a taxa de erro a um nível que permita que a computação original funcione.

Para ter uma ideia aproximada de como a taxa de erro diminui com esse método, vamos considerar como ele funciona em algumas iterações. Note que uma análise rigorosa precisaria levar em conta vários detalhes técnicos que estamos omitindo aqui.

Começamos com a probabilidade de erro $p$ para os locais no circuito original. Presumindo que $p < p_{\text{th}} = 1/C,$ a taxa de erro lógico pode ser limitada por $Cp^2 = (Cp) p$ após a primeira iteração. Ao tratar a implementação tolerante a falhas como qualquer outro circuito e implementá-la de forma tolerante a falhas, obtemos um limite para a taxa de erro lógico de

$$C \bigl((Cp) p \bigr)^2 = (Cp)^3 p.$$

Mais uma iteração reduz ainda mais o limite de erro, para

$$C \bigl((Cp)^3 p \bigr)^2 = (Cp)^7 p.$$

Continuando dessa forma por um total de $k$ iterações, obtemos uma taxa de erro lógico (para o circuito original) limitada por

$$(Cp)^{2^k - 1} p,$$

que é duplamente exponencial em $k.$

Isso significa que não precisamos de muitas iterações para tornar a taxa de erro extremamente pequena. Enquanto isso, os circuitos crescem de tamanho a cada nível de concatenação, mas o tamanho aumenta apenas de forma simplesmente exponencial no número de níveis $k.$ Isso ocorre porque, a cada nível de tolerância a falhas, o tamanho cresce por no máximo um fator determinado pelo tamanho máximo dos gadgets utilizados. Quando tudo é reunido e uma escolha adequada para o número de níveis de concatenação é feita, obtemos o teorema do limiar.

Então, qual é esse valor de limiar na prática? A resposta depende do código e dos gadgets utilizados. Para o código de Steane combinado com a destilação de estados mágicos, o valor é minúsculo e provavelmente improvável de ser alcançado na prática. Mas, usando códigos de superfície e gadgets de última geração, o limiar foi estimado em torno de 0,1% a 1%.

À medida que novos códigos e métodos são descobertos, é razoável esperar que o valor de limiar aumente, enquanto simultaneamente o nível de ruído nos componentes físicos reais diminuirá. Chegar ao ponto em que computações quânticas de larga escala possam ser implementadas de forma tolerante a falhas não será fácil, e não acontecerá da noite para o dia. Mas este teorema, junto com os avanços em códigos quânticos e hardware quântico, nos oferece otimismo à medida que continuamos avançando em direção ao objetivo final de construir um computador quântico de larga escala e tolerante a falhas.

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