Codificação superdensa

A codificação superdensa é um protocolo que, em certo sentido, alcança um objetivo complementar ao da teleportação. Em vez de permitir a transmissão de um qubit usando dois bits clássicos de comunicação (ao custo de um e-bit de entrelaçamento), ela permite a transmissão de dois bits clássicos usando um qubit de comunicação quântica (novamente, ao custo de um e-bit de entrelaçamento).

Em mais detalhes, temos um remetente (Alice) e um receptor (Bob) que compartilham um e-bit de entrelaçamento. De acordo com as convenções estabelecidas para esta lição, isso significa que Alice possui um qubit $\mathsf{A},$ Bob possui um qubit $\mathsf{B},$ e juntos o par $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ está no estado $\vert\phi^+\rangle.$ Alice deseja transmitir dois bits clássicos para Bob, que denotaremos por $c$ e $d,$ e ela fará isso enviando a ele um qubit.

É razoável considerar essa façanha menos interessante do que a realizada pela teleportação. Enviar qubits provavelmente será muito mais difícil do que enviar bits clássicos num futuro previsível, de modo que trocar um qubit de comunicação quântica por dois bits de comunicação clássica, ao custo de um e-bit por cima, mal parece valer a pena. No entanto, isso não implica que a codificação superdensa não seja interessante, pois ela certamente é.

Alinhado ao tema da lição, um dos motivos pelos quais a codificação superdensa é interessante é que ela demonstra um uso concreto e (no contexto da teoria da informação) bastante notável do entrelaçamento. Um famoso teorema em teoria da informação quântica, conhecido como teorema de Holevo, implica que, sem o uso de um estado entrelaçado compartilhado, é impossível comunicar mais de um bit de informação clássica enviando um único qubit. (O teorema de Holevo é mais geral do que isso. Seu enunciado preciso é técnico e requer explicação, mas essa é uma de suas consequências.) Portanto, por meio da codificação superdensa, o entrelaçamento compartilhado efetivamente permite a duplicação da capacidade de transmissão de informação clássica ao enviar qubits.

Protocolo

O diagrama de circuito quântico a seguir descreve o protocolo de codificação superdensa:

Em palavras, eis o que Alice faz:

1. Se $d=1,$ Alice aplica uma gate $Z$ ao seu qubit $\mathsf{A}$ (e se $d=0$, ela não faz nada).

2. Se $c=1,$ Alice aplica uma gate $X$ ao seu qubit $\mathsf{A}$ (e se $c=0$, ela não faz nada).

Alice então envia seu qubit $\mathsf{A}$ para Bob.

O que Bob faz ao receber o qubit $\mathsf{A}$ é primeiro aplicar uma gate CNOT (controlled-NOT), com $\mathsf{A}$ sendo o controle e $\mathsf{B}$ sendo o alvo, e em seguida aplica uma gate de Hadamard a $\mathsf{A}.$ Ele então mede $\mathsf{B}$ para obter $c$ e $\mathsf{A}$ para obter $d,$ usando medições na base computacional padrão em ambos os casos.

Análise

A ideia por trás deste protocolo é bem simples: Alice efetivamente escolhe qual estado de Bell ela deseja compartilhar com Bob, ela envia o seu qubit para Bob, e Bob realiza uma medição para determinar qual estado de Bell Alice escolheu.

Ou seja, eles inicialmente compartilham $\vert\phi^+\rangle,$ e dependendo dos bits $c$ e $d,$ Alice ou deixa esse estado intacto ou o transforma em um dos outros estados de Bell aplicando $\mathbb{I},$ $X,$ $Z$ ou $XZ$ ao seu qubit $\mathsf{A}.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

As ações de Bob têm os seguintes efeitos sobre os quatro estados de Bell:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

Isso pode ser verificado diretamente, calculando os resultados das operações de Bob sobre esses estados um de cada vez.

Assim, quando Bob realiza suas medições, ele é capaz de determinar qual estado de Bell Alice escolheu. Verificar que o protocolo funciona corretamente é uma questão de checar cada caso:

• Se $cd = 00,$ então o estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ quando Bob recebe $\mathsf{A}$ é $\vert \phi^+\rangle.$ Ele transforma esse estado em $\vert 00\rangle$ e obtém $cd = 00.$

• Se $cd = 01,$ então o estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ quando Bob recebe $\mathsf{A}$ é $\vert \phi^-\rangle.$ Ele transforma esse estado em $\vert 01\rangle$ e obtém $cd = 01.$

• Se $cd = 10,$ então o estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ quando Bob recebe $\mathsf{A}$ é $\vert \psi^+\rangle.$ Ele transforma esse estado em $\vert 10\rangle$ e obtém $cd = 10.$

• Se $cd = 11,$ então o estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ quando Bob recebe $\mathsf{A}$ é $\vert \psi^-\rangle.$ Ele transforma esse estado em $-\vert 11\rangle$ e obtém $cd = 11.$ (O fator de fase negativo não tem efeito aqui.)