Teleportação quântica

A teleportação quântica, ou simplesmente teleportação, é um protocolo em que uma remetente (Alice) transmite um qubit para um receptor (Bob) fazendo uso de um estado quântico entrelaçado compartilhado (um e-bit, para ser preciso) junto com dois bits de comunicação clássica. O nome teleportação remete ao conceito da ficção científica em que a matéria é transportada de um lugar para outro por algum processo futurístico, mas é preciso entender que a matéria não é teleportada na teleportação quântica — o que é de fato teleportado é a informação quântica.

A configuração para a teleportação é a seguinte.

Assumimos que Alice e Bob compartilham um e-bit: Alice possui um qubit $\mathsf{A},$ Bob possui um qubit $\mathsf{B},$ e juntos o par $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ está no estado $\vert\phi^+\rangle.$ Pode ser, por exemplo, que Alice e Bob estivessem no mesmo lugar no passado, prepararam os qubits $\mathsf{A}$ e $\mathsf{B}$ no estado $\vert \phi^+ \rangle,$ e depois cada um foi para seu caminho com seu qubit na mão. Ou pode ser que um processo diferente, como um envolvendo um terceiro ou um processo distribuído complexo, tenha sido usado para estabelecer esse e-bit compartilhado. Esses detalhes não fazem parte do próprio protocolo de teleportação.

Alice então passa a ter posse de um terceiro qubit $\mathsf{Q}$ que ela deseja transmitir a Bob. O estado do qubit $\mathsf{Q}$ é considerado desconhecido por Alice e Bob, e nenhuma suposição é feita sobre ele. Por exemplo, o qubit $\mathsf{Q}$ pode estar entrelaçado com um ou mais outros sistemas aos quais nem Alice nem Bob têm acesso. Dizer que Alice deseja transmitir o qubit $\mathsf{Q}$ a Bob significa que Alice gostaria que Bob estivesse com um qubit no mesmo estado em que $\mathsf{Q}$ estava no início do protocolo, mantendo quaisquer correlações que $\mathsf{Q}$ tinha com outros sistemas, como se Alice tivesse entregado $\mathsf{Q}$ fisicamente a Bob.

Poderíamos imaginar que Alice envia fisicamente o qubit $\mathsf{Q}$ a Bob e, se ele chegar a Bob sem ser alterado ou perturbado no caminho, então a tarefa de Alice e Bob estará cumprida. No contexto da teleportação, no entanto, nossa suposição é que isso não é viável; Alice não pode enviar qubits diretamente para Bob. Ela pode, porém, enviar informação clássica a Bob.

Essas são suposições razoáveis em uma variedade de cenários. Por exemplo, se Alice não sabe a localização exata de Bob, ou se a distância entre eles é grande, enviar fisicamente um qubit usando a tecnologia atual, ou do futuro próximo, seria no mínimo um desafio enorme. No entanto, como sabemos por experiências cotidianas, a transmissão de informação clássica nessas circunstâncias é bastante simples.

Neste ponto, alguém pode perguntar se é possível Alice e Bob cumprirem sua tarefa sem precisar sequer usar um e-bit compartilhado. Em outras palavras, existe alguma forma de transmitir um qubit usando apenas comunicação clássica?

A resposta é não, não é possível transmitir informação quântica usando apenas comunicação clássica. Isso não é muito difícil de provar matematicamente usando a teoria básica de informação quântica, mas também podemos descartar a possibilidade de transmitir qubits usando apenas comunicação clássica pensando no teorema da não-clonagem.

Imagine que existisse uma forma de enviar informação quântica usando apenas comunicação clássica. A informação clássica pode ser facilmente copiada e transmitida, o que significa que qualquer transmissão clássica de Alice para Bob também poderia ser recebida por um segundo receptor (Charlie, digamos). Mas se Charlie recebe a mesma comunicação clássica que Bob recebeu, então ele também não seria capaz de obter uma cópia do qubit $\mathsf{Q}?$ Isso sugeriria que $\mathsf{Q}$ foi clonado, o que já sabemos ser impossível pelo teorema da não-clonagem, e portanto concluímos que não há como enviar informação quântica usando apenas comunicação clássica.

Quando a suposição de que Alice e Bob compartilham um e-bit está estabelecida, no entanto, é possível para Alice e Bob cumprirem sua tarefa. É exatamente isso que o protocolo de teleportação quântica faz.

Protocolo

Aqui está um diagrama de circuito quântico que descreve o protocolo de teleportação:

O diagrama é ligeiramente estilizado no sentido de que retrata a separação entre Alice e Bob, com dois fios diagonais representando bits clássicos enviados de Alice para Bob, mas caso contrário é um diagrama de circuito quântico comum. Os nomes dos qubits são exibidos acima dos fios em vez de à esquerda para que os estados iniciais também possam ser mostrados (o que faremos frequentemente quando for conveniente). Deve-se notar também que as portas $X$ e $Z$ têm controles clássicos, o que simplesmente significa que as portas são ou não aplicadas dependendo se esses bits de controle clássicos são $0$ ou $1,$ respectivamente.

Em palavras, o protocolo de teleportação é o seguinte:

1. Alice realiza uma operação CNOT no par $(\mathsf{A},\mathsf{Q}),$ com $\mathsf{Q}$ sendo o controle e $\mathsf{A}$ sendo o alvo, e em seguida realiza uma operação de Hadamard em $\mathsf{Q}.$

2. Alice então mede $\mathsf{A}$ e $\mathsf{Q},$ em ambos os casos com uma medição na base padrão, e transmite os resultados clássicos a Bob. Vamos chamar o resultado da medição de $\mathsf{A}$ de $a$ e o resultado da medição de $\mathsf{Q}$ de $b.$

3. Bob recebe $a$ e $b$ de Alice e, dependendo dos valores desses bits, realiza as seguintes operações:

   • Se $a = 1,$ então Bob realiza um bit flip (ou porta $X$) no seu qubit $\mathsf{B}.$
   • Se $b = 1,$ então Bob realiza um phase flip (ou porta $Z$) no seu qubit $\mathsf{B}.$

   Ou seja, condicionado a $ab$ ser $00,$ $01,$ $10,$ ou $11,$ Bob realiza uma das operações $\mathbb{I},$ $Z,$ $X,$ ou $ZX$ no qubit $\mathsf{B}.$

Esta é a descrição completa do protocolo de teleportação. A análise que aparece abaixo revela que, quando executado, o qubit $\mathsf{B}$ estará em qualquer estado em que $\mathsf{Q}$ estava antes da execução do protocolo, incluindo quaisquer correlações que ele tinha com quaisquer outros sistemas — o que significa que o protocolo implementou efetivamente um canal perfeito de comunicação quântica, onde o estado de $\mathsf{Q}$ foi "teleportado" para $\mathsf{B}.$

Antes de prosseguir para a análise, observe que este protocolo não consegue clonar o estado de $\mathsf{Q},$ o que já sabemos ser impossível pelo teorema da não-clonagem. Na verdade, quando o protocolo termina, o estado do qubit $\mathsf{Q}$ terá mudado do seu valor original para $\vert b\rangle$ como resultado da medição realizada sobre ele. Observe também que o e-bit foi efetivamente "consumido" no processo: o estado de $\mathsf{A}$ mudou para $\vert a\rangle$ e não está mais entrelaçado com $\mathsf{B}$ (nem com qualquer outro sistema). Este é o custo da teleportação.

Análise

Para analisar o protocolo de teleportação, vamos examinar o comportamento do circuito descrito acima, passo a passo, começando com a situação em que $\mathsf{Q}$ está inicialmente no estado $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle.$ Esta não é a situação mais geral, pois não captura a possibilidade de $\mathsf{Q}$ estar entrelaçado com outros sistemas, mas começar por este caso mais simples tornará a análise mais clara. O caso mais geral é abordado abaixo, após a análise do caso mais simples.

Especificamente, vamos considerar os estados dos qubits $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ nos instantes sugeridos por esta figura:

Sob a suposição de que o qubit $\mathsf{Q}$ começa o protocolo no estado $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle,$ o estado dos três qubits $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ juntos no início do protocolo é portanto

$$\vert \pi_0 \rangle = \vert \phi^+\rangle \otimes \bigl(\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle \bigr) = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 110\rangle + \beta \vert 001\rangle + \beta \vert 111\rangle}{\sqrt{2}}.$$

A primeira porta aplicada é a porta CNOT, que transforma o estado $\vert\pi_0\rangle$ em

$$\vert \pi_1 \rangle = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 110\rangle + \beta \vert 011\rangle + \beta \vert 101\rangle}{\sqrt{2}}.$$

Em seguida a porta de Hadamard é aplicada, que transforma o estado $\vert\pi_1\rangle$ em

$$\begin{aligned} \vert\pi_2\rangle & = \frac{\alpha \vert 00\rangle \vert + \rangle + \alpha \vert 11\rangle\vert +\rangle + \beta \vert 01\rangle\vert -\rangle + \beta \vert 10\rangle\vert -\rangle}{\sqrt{2}}\\[2mm] & = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 001 \rangle + \alpha \vert 110 \rangle + \alpha \vert 111 \rangle + \beta \vert 010 \rangle - \beta \vert 011 \rangle + \beta \vert 100 \rangle - \beta \vert 101 \rangle}{2}. \end{aligned}$$

Usando a multilinearidade do produto tensorial, podemos alternativamente escrever este estado da seguinte forma:

$$\begin{aligned} \vert\pi_2\rangle = \quad & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 0 \rangle + \beta \vert 1\rangle \bigr)\vert 00\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 0 \rangle - \beta \vert 1\rangle \bigr)\vert 01\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 1 \rangle + \beta \vert 0\rangle \bigr)\vert 10\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 1 \rangle - \beta \vert 0\rangle \bigr)\vert 11\rangle. \end{aligned}$$

À primeira vista, pode parecer que algo mágico aconteceu, porque o qubit mais à esquerda $\mathsf{B}$ agora parece depender dos números $\alpha$ e $\beta,$ mesmo que ainda não tenha havido nenhuma comunicação de Alice para Bob. Isso é uma ilusão. Escalares se movem livremente por produtos tensoriais, então $\alpha$ e $\beta$ estão associados ao qubit mais à esquerda nem mais nem menos do que aos demais qubits, e tudo o que fizemos foi usar álgebra para expressar o estado de uma forma que facilita a análise das medições.

Agora vamos considerar os quatro resultados possíveis das medições na base padrão de Alice, junto com as ações que Bob realiza como resultado.

Resultados possíveis

• O resultado da medição de Alice é $aq = 00$ com probabilidade

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  caso em que o estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ passa a ser

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 00 \rangle.$$

  Bob não faz nada neste caso, portanto este é o estado final desses três qubits.

• O resultado da medição de Alice é $aq = 01$ com probabilidade

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 0\rangle - \beta\vert 1\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert{-\beta}\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  caso em que o estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ passa a ser

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle - \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 01 \rangle.$$

  Neste caso, Bob aplica uma porta $Z$ em $\mathsf{B},$ deixando $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ no estado

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 01 \rangle.$$

• O resultado da medição de Alice é $aq = 10$ com probabilidade

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 1\rangle + \beta\vert 0\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  caso em que o estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ passa a ser

  $$\bigl( \alpha \vert 1 \rangle + \beta \vert 0 \rangle \bigr) \vert 10 \rangle.$$

  Neste caso, Bob aplica uma porta $X$ no qubit $\mathsf{B},$ deixando $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ no estado

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 10 \rangle.$$

• O resultado da medição de Alice é $aq = 11$ com probabilidade

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 1\rangle - \beta\vert 0\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert{-\beta}\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  caso em que o estado de $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ passa a ser

  $$\bigl( \alpha \vert 1 \rangle - \beta \vert 0 \rangle \bigr) \vert 11 \rangle.$$

  Neste caso, Bob realiza a operação $ZX$ no qubit $\mathsf{B},$ deixando $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ no estado

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 11 \rangle.$$

Vemos agora, em todos os quatro casos, que o qubit $\mathsf{B}$ de Bob fica no estado $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ ao final do protocolo, que é o estado inicial do qubit $\mathsf{Q}.$ É isso que queríamos mostrar: o protocolo de teleportação funcionou corretamente.

Vemos também que os qubits $\mathsf{A}$ e $\mathsf{Q}$ ficam em um dos quatro estados $\vert 00\rangle,$ $\vert 01\rangle,$ $\vert 10\rangle,$ ou $\vert 11\rangle,$ cada um com probabilidade $1/4,$ dependendo dos resultados das medições obtidos por Alice. Assim, como já sugerido acima, ao final do protocolo Alice não possui mais o estado $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle,$ o que é consistente com o teorema da não-clonagem.

Observe que as medições de Alice não fornecem absolutamente nenhuma informação sobre o estado $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ Ou seja, a probabilidade de cada um dos quatro resultados possíveis de medição é $1/4,$ independentemente de $\alpha$ e $\beta.$ Isso também é essencial para que a teleportação funcione corretamente. Extrair informação de um estado quântico desconhecido necessariamente o perturba em geral, mas aqui Bob obtém o estado sem que ele seja perturbado.

Agora vamos considerar a situação mais geral em que o qubit $\mathsf{Q}$ está inicialmente entrelaçado com outro sistema, que chamaremos de $\mathsf{R}.$ Uma análise semelhante à realizada acima revela que o protocolo de teleportação funciona corretamente nesse caso mais geral: ao final do protocolo, o qubit $\mathsf{B}$ de Bob está entrelaçado com $\mathsf{R}$ da mesma forma que $\mathsf{Q}$ estava no início do protocolo, como se Alice tivesse simplesmente entregado $\mathsf{Q}$ a Bob.

Para provar isso, suponhamos que o estado do par $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ seja inicialmente dado por um vetor de estado quântico da forma

$$\alpha \vert 0 \rangle_{\mathsf{Q}} \vert \gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1 \rangle_{\mathsf{Q}} \vert \gamma_1\rangle_{\mathsf{R}},$$

onde $\vert\gamma_0\rangle$ e $\vert\gamma_1\rangle$ são vetores de estado quântico para o sistema $\mathsf{R}$ e $\alpha$ e $\beta$ são números complexos satisfazendo $\vert \alpha \vert^2 + \vert\beta\vert^2 = 1.$ Qualquer vetor de estado quântico do par $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ pode ser expresso dessa forma.

A figura a seguir representa o mesmo circuito de antes, com a adição do sistema $\mathsf{R}$ (representado por uma coleção de qubits no topo do diagrama que não sofrem nenhuma operação).

Para analisar o que acontece quando o protocolo de teleportação é executado, é útil permutar os sistemas, ao longo das mesmas linhas descritas na lição anterior. Especificamente, vamos considerar o estado dos sistemas na ordem $(\mathsf{B},\mathsf{R},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ em vez de $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q},\mathsf{R}).$ Os nomes dos vários sistemas são incluídos como subscritos nas expressões a seguir para maior clareza.

No início do protocolo, o estado desses sistemas é o seguinte:

$$\begin{aligned} \vert \pi_0\rangle & = \vert \phi^+\rangle_{\mathsf{BA}} \otimes \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{Q}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{Q}}\vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}}\bigr)\\[1mm] & = \frac{ \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 00 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 10 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 01 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 11 \rangle_{\mathsf{AQ}}}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

Primeiro a porta CNOT é aplicada, transformando esse estado em

$$\vert\pi_1\rangle = \frac{ \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 00\rangle_{\mathsf{AQ}} + \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 10\rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 11\rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 01\rangle_{\mathsf{AQ}}}{\sqrt{2}}.$$

Em seguida a porta de Hadamard é aplicada. Após expandir e simplificar o estado resultante, de forma semelhante à análise do caso mais simples acima, obtemos esta expressão do estado resultante:

$$\begin{aligned} \vert \pi_2 \rangle = \quad & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 00\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} - \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 01\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 10\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} - \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 11\rangle_{\mathsf{AQ}}. \end{aligned}$$

Procedendo exatamente como antes, onde consideramos os quatro resultados possíveis das medições de Alice junto com as ações correspondentes realizadas por Bob, concluímos que ao final do protocolo, o estado de $(\mathsf{B},\mathsf{R})$ é sempre

$$\alpha \vert 0 \rangle \vert \gamma_0\rangle + \beta \vert 1 \rangle \vert \gamma_1\rangle.$$

De forma informal, a análise não muda de maneira significativa em comparação com o caso mais simples acima; $\vert\gamma_0\rangle$ e $\vert\gamma_1\rangle$ essencialmente apenas "vêm junto na carona." Portanto, a teleportação consegue criar um canal de comunicação quântica perfeito, transmitindo efetivamente o conteúdo do qubit $\mathsf{Q}$ para $\mathsf{B}$ e preservando todas as correlações com outros sistemas.

Na verdade, isso não é nenhuma surpresa, dada a análise do caso mais simples acima. Como aquela análise revelou, temos um processo físico que age como a operação identidade sobre um qubit em um estado quântico arbitrário, e só há uma forma de isso acontecer: a operação implementada pelo protocolo deve ser a operação identidade. Ou seja, uma vez que sabemos que a teleportação funciona corretamente para um único qubit isolado, podemos concluir que o protocolo implementa efetivamente um canal quântico perfeito e sem ruído, e portanto deve funcionar corretamente mesmo se o qubit de entrada estiver entrelaçado com outro sistema.

Discussão adicional

Aqui estão alguns breves comentários finais sobre a teleportação.

Primeiro, a teleportação não é uma aplicação da informação quântica, é um protocolo para realizar comunicação quântica. Portanto, é útil apenas na medida em que a comunicação quântica é útil.

De fato, é razoável especular que a teleportação poderá um dia se tornar uma forma padrão de comunicar informação quântica, talvez por meio de um processo conhecido como destilação de entrelaçamento. Este é um processo que converte um número maior de e-bits ruidosos (ou imperfeitos) em um número menor de e-bits de alta qualidade, que poderiam então ser usados para teleportação sem ruído ou quase sem ruído. A ideia é que o processo de destilação de entrelaçamento não é tão delicado quanto a comunicação quântica direta. Poderíamos aceitar perdas, por exemplo, e se o processo não funcionar, podemos simplesmente tentar novamente. Em contraste, os qubits reais que esperamos comunicar podem ser muito mais preciosos.

Por fim, deve-se entender que a ideia por trás da teleportação e a forma como ela funciona são bastante fundamentais na informação e na computação quântica. É realmente um alicerce da teoria da informação quântica, e variações dela surgem constantemente. Por exemplo, portas quânticas podem ser implementadas por meio de um processo intimamente relacionado conhecido como teleportação de portas quânticas, que usa a teleportação para aplicar operações a qubits em vez de comunicá-los.