Informação Quântica

Agora estamos prontos para avançar para a informação quântica, onde fazemos uma escolha diferente para o tipo de vetor que representa um estado — neste caso, um estado quântico — do sistema em questão. Assim como na discussão anterior sobre informação clássica, vamos lidar com sistemas que possuem conjuntos de estados clássicos finitos e não-vazios, e usaremos grande parte da mesma notação.

Vetores de estado quântico

Um estado quântico de um sistema é representado por um vetor coluna, de maneira similar a um estado probabilístico. Como antes, os índices do vetor rotulam os estados clássicos do sistema. Vetores que representam estados quânticos são caracterizados por estas duas propriedades:

1. As entradas de um vetor de estado quântico são números complexos.
2. A soma dos módulos ao quadrado das entradas de um vetor de estado quântico é $1.$

Ao contrário dos estados probabilísticos, vetores que representam estados quânticos não precisam necessariamente ter entradas com números reais não-negativos, e é a soma dos módulos ao quadrado das entradas (ao contrário da soma das entradas) que deve ser igual a $1.$ Por mais simples que sejam essas mudanças, elas levam às diferenças entre informação quântica e clássica; toda aceleração proporcionada por um computador quântico ou melhoria por um protocolo de comunicação quântica é, em última análise, derivada dessas simples mudanças matemáticas.

A norma euclidiana de um vetor coluna

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

é denotada e definida da seguinte forma:

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

A condição de que a soma dos módulos ao quadrado de um vetor de estado quântico seja igual a $1$ é, portanto, equivalente a esse vetor ter norma euclidiana igual a $1.$ Ou seja, vetores de estado quântico são vetores unitários em relação à norma euclidiana.

Exemplos de estados de Qubit

O termo Qubit refere-se a um sistema quântico cujo conjunto de estados clássicos é $\{0,1\}.$ Ou seja, um Qubit é essencialmente apenas um bit — mas ao usar esse nome, reconhecemos explicitamente que esse bit pode estar em um estado quântico.

Estes são exemplos de estados quânticos de um Qubit:

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

e

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

Os dois primeiros exemplos, $\vert 0\rangle$ e $\vert 1\rangle,$ ilustram que elementos da base padrão são vetores de estado quântico válidos: suas entradas são números complexos, com a parte imaginária desses números sendo casualmente toda $0$, e o cálculo da soma dos módulos ao quadrado das entradas resulta em

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{e}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

como requerido. De maneira similar ao caso clássico, associamos os vetores de estado quântico $\vert 0\rangle$ e $\vert 1\rangle$ a um Qubit que está no estado clássico $0$ e $1$, respectivamente.

Para os outros dois exemplos, temos novamente entradas com números complexos, e o cálculo da soma dos módulos ao quadrado das entradas resulta em

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

e

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

Portanto, esses são vetores de estado quântico válidos. Observe que eles são combinações lineares dos estados da base padrão $\vert 0 \rangle$ e $\vert 1 \rangle$, e por isso frequentemente dizemos que são superposições dos estados $0$ e $1.$ No contexto de estados quânticos, superposição e combinação linear são essencialmente sinônimos.

O exemplo $(1)$ de vetor de estado de Qubit acima é encontrado com muita frequência — ele é chamado de estado mais e é denotado da seguinte forma:

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Também usamos a notação

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

para nos referir a um vetor de estado quântico relacionado, no qual a segunda entrada é negativa em vez de positiva, e chamamos esse estado de estado menos.

Esse tipo de notação, onde um símbolo diferente daquele que se refere a um estado clássico aparece dentro de um ket, é comum — podemos usar qualquer nome que quisermos dentro de um ket para nomear um vetor. É muito comum usar a notação $\vert\psi\rangle,$ ou qualquer outro nome no lugar de $\psi,$ para se referir a um vetor arbitrário que não é necessariamente um vetor da base padrão.

Observe que, se temos um vetor $\vert \psi \rangle$ cujos índices correspondem a um conjunto de estados clássicos $\Sigma$, e se $a\in\Sigma$ é um elemento desse conjunto de estados clássicos, então o produto matricial $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ é igual à entrada do vetor $\vert \psi \rangle$ cujo índice corresponde a $a.$ Assim como fizemos quando $\vert \psi \rangle$ era um vetor da base padrão, escrevemos $\langle a \vert \psi \rangle$ em vez de $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ por questão de legibilidade.

Por exemplo, se $\Sigma = \{0,1\}$ e

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

então

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{e}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

Em geral, ao usar a notação de Dirac para vetores arbitrários, a notação $\langle \psi \vert$ refere-se ao vetor linha obtido pela conjugada transposta do vetor coluna $\vert\psi\rangle$, onde o vetor é transposto de um vetor coluna para um vetor linha e cada entrada é substituída pelo seu conjugado complexo. Por exemplo, se $\vert\psi\rangle$ é o vetor definido em $(2)$, então

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

O motivo pelo qual tomamos o conjugado complexo além da transposição ficará mais claro adiante, quando discutirmos produtos internos.

Estados quânticos de outros sistemas

Podemos considerar estados quânticos de sistemas com conjuntos de estados clássicos arbitrários. Por exemplo, aqui está um vetor de estado quântico para um interruptor de ventilador elétrico:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle.$$

A suposição aqui é que os estados clássicos são ordenados como high, medium, low, off. Pode não haver uma razão especial para querer considerar um estado quântico de um interruptor de ventilador elétrico, mas é possível em princípio.

Aqui está outro exemplo, desta vez de um dígito decimal quântico, cujos estados clássicos são $0, 1, \ldots, 9$:

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

Este exemplo ilustra a conveniência de expressar vetores de estado usando a notação de Dirac. Para este exemplo específico, a representação em vetor coluna é apenas inconveniente — mas se houvesse muito mais estados clássicos, ela se tornaria impraticável. A notação de Dirac, por outro lado, suporta descrições precisas de vetores grandes e complicados em forma compacta.

A notação de Dirac também permite a expressão de vetores nos quais vários aspectos dos vetores são indeterminados, ou seja, desconhecidos ou ainda não especificados. Por exemplo, para um conjunto de estados clássicos arbitrário $\Sigma$, podemos considerar o vetor de estado quântico

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

onde a notação $\sqrt{|\Sigma|}$ refere-se à norma euclidiana de $\Sigma$, e $\vert\Sigma\vert$ neste caso é simplesmente o número de elementos em $\Sigma.$ Em palavras, isto é uma superposição uniforme sobre os estados clássicos em $\Sigma.$

Encontraremos expressões muito mais complicadas de vetores de estado quântico em lições posteriores, onde o uso de vetores coluna seria impraticável ou impossível. De fato, vamos abandonar em grande parte a representação em vetor coluna de vetores de estado, exceto para vetores com um pequeno número de entradas (frequentemente no contexto de exemplos), onde pode ser útil exibir e examinar as entradas explicitamente.

Aqui está mais uma razão pela qual expressar vetores de estado usando a notação de Dirac é conveniente: ela dispensa a necessidade de especificar explicitamente uma ordenação dos estados clássicos (ou equivalentemente, a correspondência entre estados clássicos e índices de vetores).

Por exemplo, um vetor de estado quântico para um sistema com conjunto de estados clássicos $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\},$ como

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

é descrito de forma única por essa expressão, e realmente não há necessidade de escolher ou especificar uma ordenação desse conjunto de estados clássicos para entender a expressão. Nesse caso, não é difícil especificar uma ordenação dos naipes de baralho padrão — por exemplo, poderíamos ordená-los assim: $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit.$ Se escolhêssemos essa ordenação específica, o vetor de estado quântico acima seria representado pelo vetor coluna

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

Em geral, porém, é conveniente poder simplesmente ignorar a questão de como os conjuntos de estados clássicos são ordenados.

Medição de estados quânticos

A seguir, consideramos o que acontece quando um estado quântico é medido, focando em um tipo simples de medição conhecido como medição na base padrão. (Existem conceitos de medição mais gerais, que discutiremos mais adiante.)

Assim como no caso probabilístico, um observador hipotético que realiza a medição, quando um sistema em um estado quântico é medido, não verá um vetor de estado quântico, mas sim um estado clássico. Nesse sentido, as medições funcionam como interface entre informação quântica e clássica, pela qual a informação clássica é extraída de estados quânticos.

A regra é simples: quando um estado quântico é medido, cada estado clássico do sistema aparece com uma probabilidade igual ao módulo ao quadrado da entrada no vetor de estado quântico que corresponde a esse estado clássico. Isso é conhecido como a regra de Born na mecânica quântica. Observe que essa regra é consistente com o requisito de que os módulos ao quadrado das entradas em um vetor de estado quântico somem $1$, pois implica que as probabilidades dos diferentes resultados de medição de estados clássicos somam $1.$

Por exemplo, a medição do estado mais

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

resulta nos dois possíveis resultados, $0$ e $1,$ com as seguintes probabilidades.

$$\operatorname{Pr}(\text{resultado é 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{resultado é 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Curiosamente, a medição do estado menos

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

resulta exatamente nas mesmas probabilidades para os dois resultados.

$$\operatorname{Pr}(\text{resultado é 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{resultado é 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Isso sugere que os estados mais e menos, no que diz respeito a medições na base padrão, não são diferentes. Por que então queremos fazer uma distinção entre eles? A resposta é que esses dois estados se comportam de maneira diferente quando operações são realizadas sobre eles, como discutiremos na próxima subseção abaixo.

Naturalmente, medir o estado quântico $\vert 0\rangle$ resulta com certeza no estado clássico $0$, e da mesma forma medir o estado quântico $\vert 1\rangle$ resulta com certeza no estado clássico $1.$ Isso é consistente com a identificação desses estados quânticos com o sistema estando no estado clássico correspondente, como sugerido anteriormente.

Como último exemplo, a medição do estado

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

faz com que os dois possíveis resultados apareçam com as seguintes probabilidades:

$$\operatorname{Pr}(\text{resultado é 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

e

$$\operatorname{Pr}(\text{resultado é 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

Operações unitárias

Até agora, pode não ser óbvio por que a informação quântica é fundamentalmente diferente da informação clássica. Ou seja, quando um estado quântico é medido, a probabilidade de obter cada estado clássico é dada pelo módulo ao quadrado da entrada do vetor correspondente — então por que não simplesmente registrar essas probabilidades em um vetor de probabilidade?

A resposta é, ao menos em parte, que o conjunto de operações permitidas que podem ser realizadas sobre um estado quântico é diferente do da informação clássica. Assim como no caso probabilístico, as operações sobre estados quânticos são mapeamentos lineares — mas em vez de serem representadas por matrizes estocásticas, como no caso clássico, as operações sobre vetores de estado quântico são representadas por matrizes unitárias.

Uma matriz quadrada $U$ com entradas de números complexos é unitária se satisfaz as equações

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

Aqui $\mathbb{I}$ é a matriz identidade, e $U^{\dagger}$ é a conjugada transposta de $U,$ isto é, a matriz obtida transpondo $U$ e tomando o conjugado complexo de cada entrada.

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

Se qualquer uma das duas equações numeradas $(3)$ acima for verdadeira, a outra também deve ser verdadeira. Ambas as equações são equivalentes a $U^{\dagger}$ ser a inversa de $U$:

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(Aviso: se $M$ não é uma matriz quadrada, então pode ser que $M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ e $M M^{\dagger} \neq \mathbb{I},$ por exemplo. A equivalência das duas equações na primeira equação acima vale apenas para matrizes quadradas.)

A condição de que $U$ seja unitária é equivalente à condição de que a multiplicação por $U$ não altere a norma euclidiana de nenhum vetor. Ou seja, uma matriz $n\times n$ $U$ é unitária se e somente se $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ para todo vetor coluna $n$-dimensional $\vert \psi \rangle$ com entradas de números complexos. Como o conjunto de todos os vetores de estado quântico é o mesmo que o conjunto de vetores com norma euclidiana igual a $1,$ a multiplicação de uma matriz unitária por um vetor de estado quântico resulta em outro vetor de estado quântico.

De fato, matrizes unitárias são exatamente o conjunto de mapeamentos lineares que sempre transformam vetores de estado quântico em outros vetores de estado quântico. Observe aqui uma semelhança com o caso probabilístico clássico, onde as operações são associadas a matrizes estocásticas, que são aquelas que sempre transformam vetores de probabilidade em vetores de probabilidade.

Exemplos de operações unitárias em Qubits

A lista a seguir descreve algumas operações unitárias frequentemente encontradas em Qubits.

1. Operações de Pauli. As quatro matrizes de Pauli são as seguintes:

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   Uma notação alternativa comum é $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ e $Z = \sigma_z$ (mas esteja ciente de que as letras $X,$ $Y,$ e $Z$ também são frequentemente usadas para outros fins). A operação $X$ também é chamada de bit-flip ou operação NOT, porque ela induz esse efeito nos bits:

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{e} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   A operação $Z$ também é chamada de inversão de fase, e tem este efeito:

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{e} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. Operação Hadamard. A operação Hadamard é descrita por esta matriz:

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. Operações de fase. Uma operação de fase é aquela descrita pela matriz

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   para qualquer escolha de número real $\theta.$ As operações

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   são exemplos particularmente importantes. Outros exemplos incluem $\mathbb{I} = P_0$ e $Z = P_{\pi}.$

Todas as matrizes recém-definidas são unitárias e, portanto, representam operações quânticas em um único Qubit. Por exemplo, aqui está um cálculo que verifica que $H$ é unitária:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

E aqui está o efeito da operação Hadamard em alguns vetores de estado de Qubit frequentemente encontrados.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

De forma mais concisa, obtemos estas quatro equações.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Vale a pena pausar e refletir sobre o fato de que $H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ e $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle,$ à luz da questão levantada na seção anterior sobre a distinção entre os estados $\vert {+} \rangle$ e $\vert {-} \rangle.$

Imagine uma situação em que um Qubit é preparado em um dos dois estados quânticos $\vert {+} \rangle$ e $\vert {-} \rangle$, mas onde não sabemos qual deles é. A medição de qualquer um dos dois estados produz a mesma distribuição de saída que o outro, como já observamos: $0$ e $1$ aparecem ambos com probabilidade igual a $1/2,$ o que não fornece nenhuma informação sobre qual dos dois estados foi preparado.

Se, no entanto, primeiro aplicarmos uma operação Hadamard e depois medirmos, obteremos com certeza o resultado $0$ se o estado original era $\vert {+} \rangle$, e obteremos o resultado $1,$ também com certeza, se o estado original era $\vert {-} \rangle.$ Os estados quânticos $\vert {+} \rangle$ e $\vert {-} \rangle$ podem, portanto, ser distinguidos perfeitamente. Isso demonstra que mudanças de sinal, ou mais geralmente mudanças nas fases (tradicionalmente também chamadas de argumentos) das entradas de números complexos de um vetor de estado quântico, podem alterar significativamente esse estado.

Aqui está outro exemplo que mostra como uma operação Hadamard age sobre um vetor de estado mencionado anteriormente.

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

A seguir, consideramos o efeito de uma operação $T$ sobre um estado mais.

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

Observe aqui que não nos demos ao trabalho de converter para as formas equivalentes de matriz/vetor, mas em vez disso usamos a linearidade da multiplicação matricial junto com as fórmulas

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{e}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Da mesma forma, podemos calcular o resultado de aplicar uma operação Hadamard ao vetor de estado quântico recém-obtido:

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

As duas abordagens — uma em que convertemos explicitamente para representações matriciais, e outra em que usamos linearidade e substituímos os efeitos de uma operação sobre os estados da base padrão — são equivalentes. Podemos usar aquela que for mais conveniente no caso em questão.

Composições de operações unitárias de Qubit

Composições de operações unitárias são representadas por multiplicação de matrizes, exatamente como tínhamos no caso probabilístico.

Suponha que primeiro aplicamos uma operação Hadamard, seguida de uma operação $S$, seguida de outra operação Hadamard. A operação resultante, que chamaremos de $R$ para este exemplo, é a seguinte:

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

Esta operação unitária $R$ é um exemplo interessante. Ao aplicar esta operação duas vezes, o que é equivalente a elevar ao quadrado sua representação matricial, obtemos uma operação NOT:

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Ou seja, $R$ é uma operação raiz quadrada de NOT. Esse comportamento, no qual a mesma operação aplicada duas vezes resulta em uma operação NOT, não é possível para uma operação clássica em um único bit.

Operações unitárias em sistemas maiores

Em lições subsequentes, veremos muitos exemplos de operações unitárias em sistemas com mais de dois estados clássicos. Um exemplo de operação unitária em um sistema com três estados clássicos é dado pela seguinte matriz.

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

Assumindo que os estados clássicos do sistema são $0,$ $1,$ e $2,$ podemos descrever esta operação como adição módulo $3.$

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{e}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

A matriz $A$ é um exemplo de matriz de permutação, uma matriz na qual cada linha e coluna tem exatamente um $1.$ Tais matrizes simplesmente reorganizam ou permutam as entradas dos vetores sobre os quais atuam. A matriz identidade é talvez o exemplo mais simples de uma matriz de permutação, e outro exemplo é a operação NOT em um bit ou Qubit. Toda matriz de permutação em qualquer dimensão inteira positiva é unitária. Esses são os únicos exemplos de matrizes que representam tanto operações clássicas quanto quânticas: uma matriz é ao mesmo tempo estocástica e unitária se e somente se for uma matriz de permutação.

Outro exemplo de matriz unitária, desta vez uma matriz $4\times 4$, é esta:

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

Esta matriz descreve uma operação conhecida como Transformada de Fourier Quântica, especificamente no caso $4\times 4.$ A Transformada de Fourier Quântica pode ser definida de forma mais geral para qualquer dimensão inteira positiva $n$ e desempenha um papel fundamental em algoritmos quânticos.