Produtos internos e projeções

Para nos preparar melhor para explorar as capacidades e limitações dos circuitos quânticos, vamos introduzir alguns conceitos matemáticos adicionais — a saber, o produto interno entre vetores (e sua conexão com a norma euclidiana), as noções de ortogonalidade e ortonormalidade para conjuntos de vetores, e matrizes de projeção, que nos permitirão introduzir uma generalização conveniente das medições na base padrão.

Produtos internos

Lembre-se de que quando usamos a notação de Dirac para nos referir a um vetor coluna arbitrário como um ket, como

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix},$$

o vetor bra correspondente é a transposta conjugada deste vetor:

$$\langle \psi \vert = \bigl(\vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix}. \tag{1}$$

Alternativamente, se temos em mente algum conjunto de estados clássicos $\Sigma$ e expressamos um vetor coluna como um ket, como

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle,$$

então o vetor linha (ou bra) correspondente é a transposta conjugada

$$\langle \psi \vert = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert. \tag{2}$$

Temos também que o produto de um vetor bra por um vetor ket, vistos como matrizes com uma única linha ou uma única coluna, resulta em um escalar. Especificamente, se temos dois vetores coluna

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix},$$

de modo que o vetor linha $\langle \psi \vert$ é como na equação $(1)$, então

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} = \overline{\alpha_1} \beta_1 + \cdots + \overline{\alpha_n}\beta_n.$$

Alternativamente, se temos dois vetores coluna escritos como

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{e}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

de modo que $\langle \psi \vert$ é o vetor linha $(2)$, encontramos que

$$\begin{aligned} \langle \psi \vert \phi \rangle & = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle\\ & = \Biggl(\sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert\Biggr) \Biggl(\sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b\rangle\Biggr)\\ & = \sum_{a\in\Sigma}\sum_{b\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_b \langle a \vert b \rangle\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a, \end{aligned}$$

onde a última igualdade decorre da observação de que $\langle a \vert a \rangle = 1$ e $\langle a \vert b \rangle = 0$ para estados clássicos $a$ e $b$ satisfazendo $a\neq b$.

O valor $\langle \psi \vert \phi \rangle$ é chamado de produto interno entre os vetores $\vert \psi\rangle$ e $\vert \phi \rangle$. Os produtos internos são de extrema importância na informação e computação quântica; não conseguiríamos avançar muito na compreensão matemática da informação quântica sem eles.

Vamos agora reunir alguns fatos básicos sobre produtos internos de vetores.

1. Relação com a norma euclidiana. O produto interno de qualquer vetor

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle$$

   consigo mesmo é

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \alpha_a = \sum_{a\in\Sigma} \vert\alpha_a\vert^2 = \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

   Assim, a norma euclidiana de um vetor pode ser alternativamente expressa como

   $$\bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\| = \sqrt{ \langle \psi \vert \psi \rangle }.$$

   Observe que a norma euclidiana de um vetor deve ser sempre um número real não negativo. Além disso, a única forma de a norma euclidiana de um vetor ser igual a zero é se todas as entradas forem iguais a zero, ou seja, se o vetor for o vetor nulo.

   Podemos resumir essas observações da seguinte forma: para todo vetor $\vert \psi \rangle$ temos

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle \geq 0,$$

   com $\langle \psi \vert \psi \rangle = 0$ se e somente se $\vert \psi \rangle = 0$. Essa propriedade do produto interno às vezes é chamada de positividade definida.

2. Simetria conjugada. Para quaisquer dois vetores

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{e}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

   temos

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a \quad\text{e}\quad \langle \phi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\beta_a} \alpha_a,$$

   e portanto

   $$\overline{\langle \psi \vert \phi \rangle} = \langle \phi \vert \psi \rangle.$$

3. Linearidade no segundo argumento (e linearidade conjugada no primeiro). Suponha que $\vert \psi \rangle,$ $\vert \phi_1 \rangle,$ e $\vert \phi_2 \rangle$ são vetores e $\alpha_1$ e $\alpha_2$ são números complexos. Se definirmos um novo vetor

   $$\vert \phi\rangle = \alpha_1 \vert \phi_1\rangle + \alpha_2 \vert \phi_2\rangle,$$

   então

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \bigl( \alpha_1\vert \phi_1 \rangle + \alpha_2\vert \phi_2 \rangle\bigr) = \alpha_1 \langle \psi \vert \phi_1 \rangle + \alpha_2 \langle \psi \vert \phi_2 \rangle.$$

   Ou seja, o produto interno é linear no segundo argumento. Isso pode ser verificado pelas fórmulas acima ou simplesmente observando que a multiplicação de matrizes é linear em cada argumento (e especificamente no segundo argumento).

   Combinando esse fato com a simetria conjugada, concluímos que o produto interno é linear conjugado (antilinear) no primeiro argumento. Isto é, se $\vert \psi_1 \rangle,$ $\vert \psi_2 \rangle,$ e $\vert \phi \rangle$ são vetores e $\alpha_1$ e $\alpha_2$ são números complexos, e definirmos

   $$\vert \psi \rangle = \alpha_1 \vert \psi_1\rangle + \alpha_2 \vert \psi_2 \rangle,$$

   então

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \bigl( \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \bigr) \vert\phi\rangle = \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert \phi \rangle + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \phi \rangle.$$

4. A desigualdade de Cauchy–Schwarz. Para qualquer escolha de vetores $\vert \phi \rangle$ e $\vert \psi \rangle$ com o mesmo número de entradas, temos

   $$\bigl\vert \langle \psi \vert \phi \rangle\bigr| \leq \bigl\| \vert\psi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\|.$$

   Essa é uma desigualdade incrivelmente útil, amplamente utilizada na informação quântica (e em muitos outros tópicos de estudo).

Conjuntos ortogonais e ortonormais

Dois vetores $\vert \phi \rangle$ e $\vert \psi \rangle$ são ditos ortogonais se seu produto interno é zero:

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$$

Geometricamente, podemos pensar em vetores ortogonais como vetores em ângulo reto entre si.

Um conjunto de vetores $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ é chamado de conjunto ortogonal se todo vetor do conjunto é ortogonal a todos os outros vetores do conjunto. Ou seja, esse conjunto é ortogonal se

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = 0$$

para todas as escolhas de $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ para as quais $j\neq k$.

Um conjunto de vetores $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ é chamado de conjunto ortonormal se for um conjunto ortogonal e, além disso, todo vetor do conjunto for um vetor unitário. Alternativamente, esse conjunto é ortonormal se tivermos

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = \begin{cases} 1 & j = k\\[1mm] 0 & j\neq k \end{cases} \tag{3}$$

para todas as escolhas de $j,k\in\{1,\ldots,m\}$.

Por fim, um conjunto $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ é uma base ortonormal se, além de ser um conjunto ortonormal, ele forma uma base. Isso é equivalente a $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ ser um conjunto ortonormal e $m$ ser igual à dimensão do espaço do qual $\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ são extraídos.

Por exemplo, para qualquer conjunto de estados clássicos $\Sigma$, o conjunto de todos os vetores da base padrão

$$\big\{ \vert a \rangle \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

é uma base ortonormal. O conjunto $\{\vert+\rangle,\vert-\rangle\}$ é uma base ortonormal para o espaço de dimensão $2$ correspondente a um único qubit, e a base de Bell $\{\vert\phi^+\rangle, \vert\phi^-\rangle, \vert\psi^+\rangle, \vert\psi^-\rangle\}$ é uma base ortonormal para o espaço de dimensão $4$ correspondente a dois qubits.

Estendendo conjuntos ortonormais a bases ortonormais

Suponha que $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ são vetores que vivem em um espaço de dimensão $n$, e suponha ainda que $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ é um conjunto ortonormal. Conjuntos ortonormais são sempre conjuntos linearmente independentes, portanto esses vetores necessariamente geram um subespaço de dimensão $m$. Concluímos disso que $m\leq n$ porque a dimensão do subespaço gerado por esses vetores não pode ser maior do que a dimensão do espaço inteiro do qual foram extraídos.

Se for o caso que $m<n$, então sempre é possível escolher $n-m$ vetores adicionais $\vert \psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ de forma que $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ forme uma base ortonormal. Um procedimento conhecido como processo de ortonormalização de Gram–Schmidt pode ser usado para construir esses vetores.

Conjuntos ortonormais e matrizes unitárias

Conjuntos ortonormais de vetores estão intimamente relacionados com matrizes unitárias. Uma forma de expressar essa conexão é dizer que as três afirmações a seguir são logicamente equivalentes (ou seja, todas são verdadeiras ou todas são falsas) para qualquer escolha de uma matriz quadrada $U$:

1. A matriz $U$ é unitária (isto é, $U^{\dagger} U = \mathbb{I} = U U^{\dagger}$).

2. As linhas de $U$ formam um conjunto ortonormal.

3. As colunas de $U$ formam um conjunto ortonormal.

Essa equivalência é bastante direta quando pensamos em como funciona a multiplicação de matrizes e a transposta conjugada. Suponha, por exemplo, que temos uma matriz $3\times 3$ como esta:

$$U = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}$$

A transposta conjugada de $U$ tem o seguinte aspecto:

$$U^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix}$$

Multiplicando as duas matrizes, com a transposta conjugada no lado esquerdo, obtemos esta matriz:

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}\\[4mm] \quad &= \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Se formarmos três vetores a partir das colunas de $U$,

$$\vert \psi_1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1}\\ \alpha_{2,1}\\ \alpha_{3,1} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_2\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,2}\\ \alpha_{2,2}\\ \alpha_{3,2} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_3\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,3}\\ \alpha_{2,3}\\ \alpha_{3,3} \end{pmatrix},$$

então podemos expressar o produto acima alternativamente da seguinte forma:

$$U^{\dagger} U = \begin{pmatrix} \langle \psi_1\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_2\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_3\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_3 \rangle \end{pmatrix}$$

Referindo-se à equação $(3)$, vemos agora que a condição para que essa matriz seja igual à matriz identidade é equivalente à ortonormalidade do conjunto $\{\vert\psi_1\rangle,\vert\psi_2\rangle,\vert\psi_3\rangle\}$.

Esse argumento se generaliza para matrizes unitárias de qualquer tamanho. O fato de que as linhas de uma matriz formam uma base ortonormal se e somente se a matriz é unitária decorre então do fato de que uma matriz é unitária se e somente se sua transposta também é unitária.

Dada a equivalência descrita acima, juntamente com o fato de que todo conjunto ortonormal pode ser estendido para formar uma base ortonormal, concluímos o seguinte fato útil: Dado qualquer conjunto ortonormal de vetores $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ extraídos de um espaço de dimensão $n$, existe uma matriz unitária $U$ cujas primeiras $m$ colunas são os vetores $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$. Pictoricamente, sempre podemos encontrar uma matriz unitária com esta forma:

$$U = \left( \begin{array}{ccccccc} \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt}\\ \vert\psi_1\rangle & \vert\psi_2\rangle & \cdots & \vert\psi_m\rangle & \vert\psi_{m+1}\rangle & \cdots & \vert\psi_n\rangle\\[2mm] \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} \end{array} \right).$$

Aqui, as últimas $n-m$ colunas são preenchidas com qualquer escolha de vetores $\vert\psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ que tornem $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ uma base ortonormal.

Projeções e medições projetivas

Matrizes de projeção

Uma matriz quadrada $\Pi$ é chamada de projeção se satisfaz duas propriedades:

1. $\Pi = \Pi^{\dagger}$.

2. $\Pi^2 = \Pi$.

Matrizes que satisfazem a primeira condição — isto é, que são iguais à sua própria transposta conjugada — são chamadas de matrizes hermitianas, e matrizes que satisfazem a segunda condição — que elevá-las ao quadrado as mantém inalteradas — são chamadas de matrizes idempotentes.

Como uma ressalva, a palavra projeção às vezes é usada para se referir a qualquer matriz que satisfaça apenas a segunda condição, mas não necessariamente a primeira, e quando isso acontece o termo projeção ortogonal é normalmente usado para se referir às matrizes que satisfazem ambas as propriedades. No contexto da informação e computação quântica, porém, os termos projeção e matriz de projeção se referem mais tipicamente a matrizes que satisfazem ambas as condições.

Um exemplo de projeção é a matriz

$$\Pi = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \tag{4}$$

para qualquer vetor unitário $\vert \psi\rangle$. Podemos ver que essa matriz é hermitiana da seguinte forma:

$$\Pi^{\dagger} = \bigl( \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger}\bigl( \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \Pi.$$

Aqui, para obter a segunda igualdade, usamos a fórmula

$$(A B)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger},$$

que é sempre verdadeira, para quaisquer duas matrizes $A$ e $B$ para as quais o produto $AB$ faz sentido.

Para ver que a matriz $\Pi$ em $(4)$ é idempotente, podemos usar a hipótese de que $\vert\psi\rangle$ é um vetor unitário, de modo que satisfaz $\langle \psi \vert \psi\rangle = 1$. Assim, temos

$$\Pi^2 = \bigl( \vert\psi\rangle\langle \psi\vert \bigr)^2 = \vert\psi\rangle\langle \psi\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \Pi.$$

De forma mais geral, se $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ é qualquer conjunto ortonormal de vetores, então a matriz

$$\Pi = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \tag{5}$$

é uma projeção. Especificamente, temos

$$\begin{aligned} \Pi^{\dagger} &= \biggl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \bigl(\vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert\bigr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ &= \Pi, \end{aligned}$$

e

$$\begin{aligned} \Pi^2 & = \biggl( \sum_{j = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert\Bigr)\Bigl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr) \\ & = \sum_{j = 1}^m\sum_{k = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \\ & = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ & = \Pi, \end{aligned}$$

onde a ortonormalidade de $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ implica a penúltima igualdade.

De fato, isso esgota todas as possibilidades: toda projeção $\Pi$ pode ser escrita na forma $(5)$ para alguma escolha de um conjunto ortonormal $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$. (Tecnicamente falando, a matriz zero $\Pi=0$, que é uma projeção, é um caso especial. Para encaixá-la na forma geral $(5)$ devemos permitir que a soma seja vazia, resultando na matriz zero.)

Medições projetivas

A noção de medição de um sistema quântico é mais geral do que apenas as medições na base padrão. Medições projetivas são medições descritas por uma coleção de projeções cuja soma é igual à matriz identidade. Em símbolos, uma coleção $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ de matrizes de projeção descreve uma medição projetiva se

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}.$$

Quando essa medição é realizada em um sistema $\mathsf{X}$ enquanto ele está em algum estado $\vert\psi\rangle$, duas coisas acontecem:

1. Para cada $k\in\{0,\ldots,m-1\}$, o resultado da medição é $k$ com probabilidade igual a

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $k$}\bigr) = \bigl\| \Pi_k \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. Para qualquer resultado $k$ que a medição produza, o estado de $\mathsf{X}$ se torna

   $$\frac{\Pi_k \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_k \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

Também podemos escolher resultados diferentes de $\{0,\ldots,m-1\}$ para medições projetivas, se desejarmos. De forma mais geral, para qualquer conjunto finito e não vazio $\Sigma$, se temos uma coleção de matrizes de projeção

$$\{\Pi_a:a\in\Sigma\}$$

que satisfaz a condição

$$\sum_{a\in\Sigma} \Pi_a = \mathbb{I},$$

então essa coleção descreve uma medição projetiva cujos possíveis resultados coincidem com o conjunto $\Sigma$, onde as regras são as mesmas de antes:

1. Para cada $a\in\Sigma$, o resultado da medição é $a$ com probabilidade igual a

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $a$}\bigr) = \bigl\| \Pi_a \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. Para qualquer resultado $a$ que a medição produza, o estado de $\mathsf{X}$ se torna

   $$\frac{\Pi_a \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_a \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

Por exemplo, as medições na base padrão são equivalentes a medições projetivas, onde $\Sigma$ é o conjunto de estados clássicos de qualquer sistema $\mathsf{X}$ sobre o qual estamos falando e nosso conjunto de matrizes de projeção é $\{\vert a\rangle\langle a\vert:a\in\Sigma\}$.

Outro exemplo de medição projetiva, desta vez em dois qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, é dado pelo conjunto $\{\Pi_0,\Pi_1\}$, onde

$$\Pi_0 = \vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert + \vert \phi^-\rangle\langle \phi^- \vert + \vert \psi^+\rangle\langle \psi^+ \vert \quad\text{e}\quad \Pi_1 = \vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert.$$

Se temos múltiplos sistemas que estão conjuntamente em algum estado quântico e uma medição projetiva é realizada em apenas um dos sistemas, a ação é similar ao que tínhamos para as medições na base padrão — e de fato podemos agora descrever essa ação em termos muito mais simples do que antes.

Para ser preciso, suponha que temos dois sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ em um estado quântico $\vert\psi\rangle$, e uma medição projetiva descrita por uma coleção $\{\Pi_a : a\in\Sigma\}$ é realizada no sistema $\mathsf{X}$, enquanto nada é feito em $\mathsf{Y}$. Fazer isso é então equivalente a realizar a medição projetiva descrita pela coleção

$$\bigl\{ \Pi_a \otimes \mathbb{I} \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

no sistema conjunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$. Cada resultado de medição $a$ ocorre com probabilidade

$$\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|^2,$$

e condicionado ao resultado $a$ aparecer, o estado do sistema conjunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se torna

$$\frac{(\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle}{\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|}.$$

Implementando medições projetivas

Medições projetivas arbitrárias podem ser implementadas usando operações unitárias, medições na base padrão e um sistema auxiliar extra, como será explicado agora.

Suponha que $\mathsf{X}$ é um sistema e $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ é uma medição projetiva em $\mathsf{X}$. Podemos facilmente generalizar essa discussão para medições projetivas com diferentes conjuntos de resultados, mas para conveniência e simplicidade assumiremos que o conjunto de possíveis resultados da nossa medição é $\{0,\ldots,m-1\}$.

Notemos explicitamente que $m$ não é necessariamente igual ao número de estados clássicos de $\mathsf{X}$ — seja $n$ o número de estados clássicos de $\mathsf{X}$, o que significa que cada matriz $\Pi_k$ é uma matriz de projeção $n\times n$.

Como assumimos que $\{\Pi_0\ldots,\Pi_{m-1}\}$ representa uma medição projetiva, é necessariamente o caso que

$$\sum_{k = 0}^{m-1} \Pi_k = \mathbb{I}_n.$$

Nosso objetivo é realizar um processo que tenha o mesmo efeito que realizar essa medição projetiva em $\mathsf{X}$, mas fazê-lo usando apenas operações unitárias e medições na base padrão.

Faremos uso de um sistema auxiliar extra $\mathsf{Y}$ para isso, e especificamente vamos tomar o conjunto de estados clássicos de $\mathsf{Y}$ como sendo $\{0,\ldots,m-1\}$, que é o mesmo que o conjunto de resultados da medição projetiva. A ideia é que realizaremos uma medição na base padrão em $\mathsf{Y}$, e interpretaremos o resultado dessa medição como sendo equivalente ao resultado da medição projetiva em $\mathsf{X}$. Precisaremos assumir que $\mathsf{Y}$ é inicializado em algum estado fixo, que escolheremos como $\vert 0\rangle$. (Qualquer outra escolha de vetor de estado quântico fixo poderia ser feita para funcionar, mas escolher $\vert 0\rangle$ torna a explicação a seguir muito mais simples.)

Claro, para que uma medição na base padrão de $\mathsf{Y}$ nos diga algo sobre $\mathsf{X}$, precisaremos permitir que $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ interajam de alguma forma antes de medir $\mathsf{Y}$, realizando uma operação unitária no sistema $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$. Primeiro considere esta matriz:

$$M = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \langle 0 \vert \otimes \Pi_k.$$

Expressa explicitamente como uma chamada matriz de blocos, que é essencialmente uma matriz de matrizes que interpretamos como uma única matriz maior, $M$ tem o seguinte aspecto:

$$M = \begin{pmatrix} \Pi_0 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \Pi_1 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

Aqui, cada $0$ representa uma matriz $n\times n$ preenchida inteiramente com zeros, de modo que a matriz inteira $M$ é uma matriz $nm\times nm$.

Agora, $M$ certamente não é uma matriz unitária (a menos que $m=1,$ caso em que $\Pi_0 = \mathbb{I},$ dando $M = \mathbb{I}$ nesse caso trivial) porque matrizes unitárias não podem ter nenhuma coluna (ou linha) inteiramente $0;$ matrizes unitárias têm colunas que formam bases ortonormais, e o vetor totalmente nulo não é um vetor unitário.

No entanto, é o caso que as primeiras $n$ colunas da matriz $M$ são ortonormais, e obtemos isso da hipótese de que $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ é uma medição. Para verificar essa afirmação, observe que para cada $j\in\{0,\ldots,n-1\}$, o vetor formado pela coluna número $j$ de $M$ é o seguinte:

$$\vert \psi_j\rangle = M \vert 0, j\rangle = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert j\rangle.$$

Observe que aqui estamos numerando as colunas a partir da coluna $0$. Calculando o produto interno da coluna $i$ com a coluna $j$ quando $i,j\in\{0,\ldots,n-1\}$, obtemos

$$\begin{aligned} \langle \psi_i \vert \psi_j \rangle & = \biggl(\sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert i\rangle\biggr)^{\dagger} \biggl(\sum_{l = 0}^{m-1} \vert l \rangle \otimes \Pi_l \vert j\rangle\biggr) \\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \sum_{l = 0}^{m-1} \langle k \vert l \rangle \langle i \vert \Pi_k \Pi_l \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \langle i \vert \mathbb{I} \vert j \rangle\\ & = \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i\neq j, \end{cases} \end{aligned}$$

que é o que precisávamos mostrar.

Assim, como as primeiras $n$ colunas da matriz $M$ são ortonormais, podemos substituir todas as entradas zero restantes por alguma outra escolha de entradas de números complexos de modo que a matriz inteira seja unitária.

$$U = \begin{pmatrix} \Pi_0 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \Pi_1 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Se tivermos as matrizes $\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}$, podemos calcular as matrizes adequadas para preencher os blocos marcados com $\fbox{?}$ na equação — usando o processo de Gram–Schmidt — mas não importa especificamente quais são essas matrizes para fins desta discussão.

Finalmente, podemos descrever o processo de medição: primeiro realizamos $U$ no sistema conjunto $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ e depois medimos $\mathsf{Y}$ com respeito a uma medição na base padrão. Para um estado arbitrário $\vert \phi \rangle$ de $\mathsf{X}$, obtemos o estado

$$U \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = M \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k\rangle \otimes \Pi_k \vert\phi\rangle,$$

onde a primeira igualdade decorre do fato de que $U$ e $M$ coincidem em suas primeiras $n$ colunas. Quando realizamos uma medição projetiva em $\mathsf{Y}$, obtemos cada resultado $k$ com probabilidade

$$\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|^2,$$

caso em que o estado de $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ se torna

$$\vert k\rangle \otimes \frac{\Pi_k \vert \phi\rangle}{\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|}.$$

Assim, $\mathsf{Y}$ armazena uma cópia do resultado da medição e $\mathsf{X}$ muda exatamente como mudaria se a medição projetiva descrita por $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ tivesse sido realizada diretamente em $\mathsf{X}.$