Informação Quântica

Agora estamos prontos para avançar para a informação quântica no contexto de múltiplos sistemas. De forma semelhante à lição anterior sobre sistemas individuais, a descrição matemática da informação quântica para múltiplos sistemas é muito parecida com o caso probabilístico e utiliza conceitos e técnicas similares.

Estados quânticos

Múltiplos sistemas podem ser considerados em conjunto como sistemas únicos e compostos. Já observamos isso no caso probabilístico, e o caso quântico é análogo. Os estados quânticos de múltiplos sistemas são, portanto, representados por vetores coluna com entradas de números complexos e norma euclidiana igual a $1$, exatamente como os estados quânticos de sistemas individuais. No caso de múltiplos sistemas, as entradas desses vetores são colocadas em correspondência com o produto cartesiano dos conjuntos de estados clássicos associados a cada um dos sistemas individuais, pois esse é o conjunto de estados clássicos do sistema composto.

Por exemplo, se $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ são qubits, então o conjunto de estados clássicos do par de qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ considerado em conjunto como um único sistema, é o produto cartesiano $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ Ao representar pares de valores binários como strings binárias de comprimento dois, associamos esse produto cartesiano ao conjunto $\{00,01,10,11\}.$ Os vetores a seguir são, portanto, todos exemplos de vetores de estado quântico do par $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{e} \quad \vert 01 \rangle.$$

Há variações em como os vetores de estado quântico de múltiplos sistemas são expressos, e podemos escolher a variação que preferirmos. Aqui estão alguns exemplos para o primeiro vetor de estado quântico acima.

1. Podemos usar o fato de que $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (para quaisquer estados clássicos $a$ e $b$), para escrever em vez disso

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Podemos escrever o símbolo do produto tensorial explicitamente assim:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. Podemos indexar os kets para indicar como eles correspondem aos sistemas em questão, assim:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

É claro que também podemos escrever vetores de estado quântico explicitamente como vetores coluna:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

Dependendo do contexto em que aparece, uma dessas variações pode ser preferida — mas todas são equivalentes no sentido de que descrevem o mesmo vetor.

Produtos tensoriais de vetores de estado quântico

De forma semelhante aos vetores de probabilidade, os produtos tensoriais de vetores de estado quântico também são vetores de estado quântico — e representam novamente a independência entre sistemas.

Em detalhes, e começando com o caso de dois sistemas, suponha que $\vert \phi \rangle$ é um vetor de estado quântico de um sistema $\mathsf{X}$ e $\vert \psi \rangle$ é um vetor de estado quântico de um sistema $\mathsf{Y}.$ O produto tensorial $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ que pode ser escrito alternadamente como $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ ou como $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ é então um vetor de estado quântico do sistema conjunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Novamente chamamos um estado dessa forma de estado produto.

De forma intuitiva, quando um par de sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ está em um estado produto $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$, podemos interpretar isso como: $\mathsf{X}$ está no estado quântico $\vert \phi \rangle$, $\mathsf{Y}$ está no estado quântico $\vert \psi \rangle$, e os estados dos dois sistemas não têm nada a ver um com o outro.

O fato de que o vetor de produto tensorial $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ é de fato um vetor de estado quântico é consistente com a norma euclidiana ser multiplicativa em relação a produtos tensoriais:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Como $\vert \phi \rangle$ e $\vert \psi \rangle$ são vetores de estado quântico, temos $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ e $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ e portanto $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ logo $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ também é um vetor de estado quântico.

Isso se generaliza para mais de dois sistemas. Se $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ são vetores de estado quântico dos sistemas $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$, então $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ é um vetor de estado quântico que representa um estado produto do sistema conjunto $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Novamente sabemos que isso é um vetor de estado quântico porque

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

Estados emaranhados

Nem todo vetor de estado quântico de múltiplos sistemas é um estado produto. Por exemplo, o vetor de estado quântico

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

de dois qubits não é um estado produto. Para justificar isso, podemos seguir exatamente o mesmo argumento que usamos na seção anterior para um estado probabilístico. Ou seja, se $(1)$ fosse um estado produto, existiriam vetores de estado quântico $\vert\phi\rangle$ e $\vert\psi\rangle$ para os quais

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Mas então necessariamente teríamos

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

o que implica que $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ ou $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (ou ambos). Isso contradiz o fato de que

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

e

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

ambos são diferentes de zero. Portanto, o vetor de estado quântico $(1)$ representa uma correlação entre dois sistemas, e dizemos especificamente que os sistemas estão emaranhados.

Observe que o valor específico $1/\sqrt{2}$ não é importante para esse argumento — tudo que importa é que esse valor seja diferente de zero. Portanto, por exemplo, o estado quântico

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

também não é um estado produto, pelo mesmo argumento.

O emaranhamento é uma característica essencial da informação quântica, que será discutida com mais detalhes em uma lição posterior. O emaranhamento pode ser complicado, especialmente para os tipos de estados quânticos ruidosos que podem ser descritos por matrizes de densidade (discutidas no curso Formulação Geral da Informação Quântica, o terceiro curso da série Entendendo Informação e Computação Quântica). Para vetores de estado quântico, no entanto, o emaranhamento é equivalente à correlação: qualquer vetor de estado quântico que não seja um estado produto representa um estado emaranhado.

Em contraste, o vetor de estado quântico

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

é um exemplo de estado produto.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Portanto, esse estado não é emaranhado.

Estados de Bell

Vamos agora examinar alguns exemplos importantes de estados quânticos de múltiplos qubits, começando pelos estados de Bell. Estes são os quatro estados de dois qubits a seguir:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Os estados de Bell recebem esse nome em homenagem a John Bell. Observe que o mesmo argumento que mostra que $\vert\phi^+\rangle$ não é um estado produto também mostra que nenhum dos outros estados de Bell é um estado produto: todos os quatro estados de Bell representam emaranhamento entre dois qubits.

A coleção de todos os quatro estados de Bell

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

é conhecida como base de Bell. Como o nome sugere, isso é uma base; qualquer vetor de estado quântico de dois qubits, ou na verdade qualquer vetor complexo com entradas correspondentes aos quatro estados clássicos de dois bits, pode ser expresso como uma combinação linear dos quatro estados de Bell. Por exemplo,

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

Estados GHZ e W

A seguir, vamos examinar dois exemplos interessantes de estados de três qubits. O primeiro exemplo é o estado GHZ (assim chamado em homenagem a Daniel Greenberger, Michael Horne e Anton Zeilinger, que primeiro estudaram algumas de suas propriedades):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

O segundo exemplo é o chamado estado W:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Nenhum desses estados é um estado produto, o que significa que não podem ser escritos como produto tensorial de três vetores de estado quântico de qubit. Vamos examinar ambos esses estados mais adiante, quando discutirmos medições parciais de estados quânticos de múltiplos sistemas.

Exemplos adicionais

Os exemplos de estados quânticos de múltiplos sistemas que vimos até agora são estados de dois ou três qubits, mas também podemos considerar estados quânticos de múltiplos sistemas com diferentes conjuntos de estados clássicos.

Por exemplo, aqui está um estado quântico de três sistemas, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ e $\mathsf{Z},$ onde o conjunto de estados clássicos de $\mathsf{X}$ é o alfabeto binário (então $\mathsf{X}$ é um qubit) e o conjunto de estados clássicos de $\mathsf{Y}$ e $\mathsf{Z}$ é $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

E aqui está um exemplo de estado quântico de três sistemas, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ e $\mathsf{Z},$ todos compartilhando o mesmo conjunto de estados clássicos $\{0,1,2\}$:

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

Sistemas com conjunto de estados clássicos $\{0,1,2\}$ são frequentemente chamados de trits ou (assumindo que podem estar em um estado quântico) qutrits. O termo qudit se refere a um sistema com conjunto de estados clássicos $\{0,\ldots,d-1\}$ para qualquer escolha de $d.$

Medições de estados quânticos

Medições na base padrão de estados quânticos de sistemas individuais foram discutidas na lição anterior: quando um sistema com conjunto de estados clássicos $\Sigma$ está em um estado quântico representado pelo vetor $\vert \psi \rangle$, e esse sistema é medido (com relação a uma medição na base padrão), então cada estado clássico $a\in\Sigma$ aparece com probabilidade $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ Isso nos diz o que acontece quando temos um estado quântico de múltiplos sistemas e decidimos medir o sistema composto inteiro, o que é equivalente a medir todos os sistemas.

Para formular isso de forma precisa, suponha que $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ são sistemas com conjuntos de estados clássicos $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}.$ Podemos então considerar $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ em conjunto como um único sistema, cujo conjunto de estados clássicos é o produto cartesiano $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ Se um estado quântico desse sistema é representado pelo vetor de estado quântico $\vert\psi\rangle$ e todos os sistemas são medidos, então cada resultado possível $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ aparece com probabilidade $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

Por exemplo, se os sistemas $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ estão juntos no estado quântico

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

então a medição de ambos os sistemas com medições na base padrão produz o resultado $(0,\heartsuit)$ com probabilidade $9/25$ e o resultado $(1,\spadesuit)$ com probabilidade $16/25.$

Medições parciais

Vamos agora considerar a situação em que temos múltiplos sistemas em um estado quântico e decidimos medir um subconjunto próprio dos sistemas. Como antes, começamos com dois sistemas $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ com conjuntos de estados clássicos $\Sigma$ e $\Gamma$, respectivamente.

Em geral, um vetor de estado quântico de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ assume a forma

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

onde $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ é uma coleção de números complexos que satisfaz

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

o que é equivalente a dizer que $\vert \psi \rangle$ é um vetor unitário.

Já sabemos pela discussão acima que, se tanto $\mathsf{X}$ quanto $\mathsf{Y}$ são medidos, cada resultado possível $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ aparece com probabilidade

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Se assumirmos, em vez disso, que apenas o primeiro sistema $\mathsf{X}$ é medido, a probabilidade de que cada resultado $a\in\Sigma$ apareça deve ser igual a

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Isso é consistente com o que já vimos no caso probabilístico, bem como com nossa compreensão atual da física: a probabilidade de que cada resultado apareça quando $\mathsf{X}$ é medido não pode depender de $\mathsf{Y}$ também ter sido medido ou não, pois isso permitiria comunicação mais rápida que a luz.

Depois de obter um resultado específico $a\in\Sigma$ de uma medição na base padrão de $\mathsf{X}$, naturalmente esperamos que o estado quântico de $\mathsf{X}$ mude para $\vert a\rangle$, exatamente como no caso de sistemas individuais. Mas o que acontece com o estado quântico de $\mathsf{Y}$?

Para responder a essa pergunta, podemos primeiro expressar o vetor $\vert\psi\rangle$ como

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

onde

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

para cada $a\in\Sigma.$ Aqui seguimos a mesma metodologia do caso probabilístico, isolando os estados da base padrão do sistema a ser medido. A probabilidade de que a medição na base padrão de $\mathsf{X}$ produza cada resultado $a$ é a seguinte:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

E como resultado da medição na base padrão de $\mathsf{X}$ produzindo o resultado $a$, o estado quântico do par $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ colapsa para

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

Ou seja, o estado "colapsa" como no caso de sistema individual, mas apenas na medida necessária para que o estado seja consistente com a medição de $\mathsf{X}$ produzindo o resultado $a$.

De forma informal, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ representa a componente de $\vert \psi\rangle$ consistente com uma medição de $\mathsf{X}$ resultando em $a$. Em seguida, normalizamos esse vetor — dividindo pela sua norma euclidiana, que é igual a $\|\vert\phi_a\rangle\|$ — para obter um vetor de estado quântico válido com norma euclidiana igual a $1$. Esse passo de normalização é análogo ao que fizemos no caso probabilístico, quando dividimos vetores pela soma de suas entradas para obter um vetor de probabilidade.

Como exemplo, considere o estado de dois qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ do início da seção:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Para entender o que acontece quando o primeiro sistema $\mathsf{X}$ é medido, começamos escrevendo

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

Vemos agora, com base na descrição acima, que a probabilidade de a medição resultar em $0$ é

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

caso em que o estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se torna

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

e a probabilidade de a medição resultar em $1$ é

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

caso em que o estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se torna

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

A mesma técnica, usada de forma simétrica, descreve o que acontece quando o segundo sistema $\mathsf{Y}$ é medido em vez do primeiro. Desta vez, reescrevemos o vetor $\vert \psi \rangle$ como

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

A probabilidade de a medição de $\mathsf{Y}$ resultar em $0$ é

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

caso em que o estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se torna

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

e a probabilidade de o resultado da medição ser $1$ é

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

caso em que o estado de $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se torna

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Observação sobre estados quânticos reduzidos

O exemplo anterior revela uma limitação da descrição simplificada da informação quântica, a saber, que ela não nos oferece uma maneira de descrever o estado quântico reduzido (ou marginal) de apenas um dos dois sistemas (ou de um subconjunto próprio de qualquer número de sistemas), como no caso probabilístico.

Especificamente, para um estado probabilístico de dois sistemas $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ descrito por um vetor de probabilidade

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

podemos escrever o estado probabilístico reduzido ou marginal de $\mathsf{X}$ isoladamente como

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

Para vetores de estado quântico, não existe uma maneira análoga de fazer isso. Em particular, para um vetor de estado quântico

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

o vetor

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

em geral não é um vetor de estado quântico e não representa corretamente o conceito de estado reduzido ou marginal.

O que podemos fazer em vez disso é recorrer ao conceito de matriz de densidade, discutido no curso Formulação Geral da Informação Quântica. As matrizes de densidade nos oferecem uma maneira significativa de definir estados quânticos reduzidos que é análoga ao caso probabilístico.

Medições parciais para três ou mais sistemas

Medições parciais de três ou mais sistemas, onde um subconjunto próprio dos sistemas é medido, podem ser reduzidas ao caso de dois sistemas dividindo os sistemas em dois grupos: os que são medidos e os que não são. Aqui está um exemplo específico que ilustra como isso pode ser feito. Ele demonstra especificamente como indexar kets pelos nomes dos sistemas que representam pode ser útil — neste caso, porque nos dá uma maneira simples de descrever permutações dos sistemas.

Para este exemplo, consideramos um estado quântico de uma 5-tupla de sistemas $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ onde todos os cinco sistemas compartilham o mesmo conjunto de estados clássicos $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$:

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Vamos considerar a situação em que o primeiro e o terceiro sistemas são medidos e os sistemas restantes são deixados em repouso.

Conceitualmente, não há diferença fundamental entre essa situação e uma em que apenas um dos dois sistemas é medido. Infelizmente, como os sistemas medidos estão intercalados com os sistemas não medidos, nos deparamos com um obstáculo ao escrever as expressões necessárias para realizar esses cálculos.

Uma forma de prosseguir, como sugerido acima, é indexar os kets para indicar a quais sistemas eles se referem. Isso nos dá uma maneira de acompanhar os sistemas enquanto permutamos a ordem dos kets, o que torna a matemática mais simples.

Primeiramente, o vetor de estado quântico acima pode ser escrito alternativamente como

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Nada mudou, exceto que cada ket agora tem um índice que indica a qual sistema ele corresponde. Aqui usamos os índices $0,\ldots,4$, mas os próprios nomes dos sistemas também poderiam ser usados (em uma situação em que temos nomes de sistemas como $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ e $\mathsf{Z}$, por exemplo).

Agora podemos reordenar os kets e agrupar os termos da seguinte forma:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

Os produtos tensoriais ainda são implícitos, mesmo quando parênteses são usados, como neste exemplo.

Para ser claro sobre a permutação dos kets: produtos tensoriais não são comutativos — se $\vert \phi\rangle$ e $\vert \pi \rangle$ são vetores, então em geral $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ é diferente de $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ e o mesmo vale para produtos tensoriais de três ou mais vetores. Por exemplo, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ é um vetor diferente de $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ A reordenação dos kets que acabamos de fazer não deve ser interpretada como sugerindo algo diferente disso.

Em vez disso, para fins de realização dos cálculos, simplesmente decidimos que é mais conveniente agrupar os sistemas como $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ em vez de $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ Os índices nos kets servem para manter tudo claro, e somos livres para retornar à ordem original mais tarde, se desejarmos.

Vemos agora que, quando os sistemas $\mathsf{X}_4$ e $\mathsf{X}_2$ são medidos, as probabilidades (não nulas) dos diferentes resultados são as seguintes:

• O resultado da medição $(\heartsuit,\diamondsuit)$ ocorre com probabilidade

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• O resultado da medição $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ ocorre com probabilidade

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• O resultado da medição $(\spadesuit,\clubsuit)$ ocorre com probabilidade

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Se o resultado da medição for, por exemplo, $(\heartsuit,\diamondsuit)$, o estado resultante de nossos cinco sistemas se torna

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Aqui retornamos à ordem original dos sistemas para a resposta final, apenas para ilustrar que podemos fazer isso. Para os outros resultados de medição possíveis, o estado pode ser determinado de forma semelhante.

Por fim, aqui estão dois exemplos prometidos anteriormente, começando com o estado GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Se apenas o primeiro sistema é medido, obtemos o resultado $0$ com probabilidade $1/2$, caso em que o estado dos três qubits se torna $\vert 000\rangle$; e também obtemos o resultado $1$ com probabilidade $1/2$, caso em que o estado dos três qubits se torna $\vert 111\rangle$.

Para um estado W, por outro lado, novamente assumindo que apenas o primeiro sistema é medido, começamos escrevendo esse estado assim:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

A probabilidade de uma medição do primeiro qubit resultar em $0$ é portanto igual a

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

e condicionado a que a medição produza esse resultado, o estado quântico dos três qubits se torna

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

A probabilidade de o resultado da medição ser $1$ é $1/3$, caso em que o estado dos três qubits se torna $\vert 100\rangle$.

O estado W é simétrico no sentido de que não muda quando permutamos os qubits. Portanto, obtemos uma descrição similar para a medição do segundo ou terceiro qubit em vez do primeiro.

Operações unitárias

Em princípio, qualquer matriz unitária cujas linhas e colunas correspondem aos estados clássicos de um sistema representa uma operação quântica válida nesse sistema. Isso continua sendo verdade para sistemas compostos, cujos conjuntos de estados clássicos são produtos cartesianos dos conjuntos de estados clássicos dos sistemas individuais.

Concentrando-nos em dois sistemas, se $\mathsf{X}$ é um sistema com conjunto de estados clássicos $\Sigma$ e $\mathsf{Y}$ é um sistema com conjunto de estados clássicos $\Gamma$, então o conjunto de estados clássicos do sistema conjunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ é $\Sigma\times\Gamma.$ Portanto, operações quânticas nesse sistema conjunto são representadas por matrizes unitárias cujas linhas e colunas são colocadas em correspondência com o conjunto $\Sigma\times\Gamma.$ A ordem das linhas e colunas dessas matrizes é a mesma usada para vetores de estado quântico do sistema $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Por exemplo, suponha que $\Sigma = \{1,2,3\}$ e $\Gamma = \{0,1\},$ e lembre-se que a convenção padrão para a ordem dos elementos do produto cartesiano $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ é:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Aqui está um exemplo de matriz unitária que representa uma operação em $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$:

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Essa matriz unitária não é particularmente especial, é apenas um exemplo. Para verificar que $U$ é unitária, basta calcular e verificar que, por exemplo, $U^{\dagger} U = \mathbb{I}.$ Como alternativa, podemos verificar que as linhas (ou as colunas) são ortonormais, o que neste caso é mais fácil, dada a forma especial da matriz $U.$

O efeito de $U$ sobre o vetor da base padrão $\vert 1, 1 \rangle$ é, por exemplo,

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

o que podemos ver examinando a segunda coluna de $U$, levando em conta nossa ordenação do conjunto $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

Como para qualquer matriz, é possível expressar $U$ usando a notação de Dirac, o que exigiria 20 termos para as 20 entradas não nulas de $U$. Se realmente escrevêssemos todos esses termos em vez de escrever uma matriz $6\times 6$, seria confuso e os padrões evidentes na representação matricial provavelmente não seriam tão claros. Simplesmente dito, a notação de Dirac nem sempre é a melhor escolha.

Operações unitárias em três ou mais sistemas funcionam de forma semelhante, com as matrizes unitárias tendo linhas e colunas correspondentes ao produto cartesiano dos conjuntos de estados clássicos dos sistemas. Já vimos um exemplo nesta lição: a operação de três qubits

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

onde números em bras e kets significam suas codificações binárias de $3$ bits. Além de ser uma operação determinística, ela também é uma operação unitária. Operações que são simultaneamente determinísticas e unitárias são chamadas de operações reversíveis. O conjugado transposto dessa matriz pode ser escrito como:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Isso representa a inversão, ou em termos matemáticos o inverso, da operação original — o que esperamos do conjugado transposto de uma matriz unitária. Veremos mais exemplos de operações unitárias em múltiplos sistemas à medida que a lição avança.

Operações unitárias realizadas independentemente em sistemas individuais

Quando operações unitárias são realizadas independentemente em uma coleção de sistemas individuais, o efeito combinado dessas operações independentes é descrito pelo produto tensorial das matrizes unitárias que as representam. Ou seja, se $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ são sistemas quânticos, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ são matrizes unitárias que representam operações nesses sistemas, e as operações são realizadas independentemente nos sistemas, o efeito combinado em $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ é representado pela matriz $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ Novamente descobrimos que os contextos probabilístico e quântico são análogos a esse respeito.

Naturalmente, ao ler o parágrafo anterior, esperaríamos que o produto tensorial de qualquer coleção de matrizes unitárias seja unitário. De fato, isso é verdade, e podemos verificar da seguinte forma.

Observe primeiro que a operação de conjugado transposto satisfaz

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

para matrizes $M_0,\ldots,M_{n-1}$ escolhidas arbitrariamente. Isso pode ser verificado voltando à definição do produto tensorial e do conjugado transposto e verificando que cada entrada dos dois lados da equação coincide. Isso significa que

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Como o produto tensorial de matrizes é multiplicativo, descobrimos que

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Aqui escrevemos $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ para nos referir às matrizes que representam a operação identidade nos sistemas $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$, o que significa que são matrizes identidade cujos tamanhos correspondem ao número de estados clássicos de $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

Finalmente, o produto tensorial $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ é igual à matriz identidade, para a qual temos um número de linhas e colunas que corresponde ao produto do número de linhas e colunas das matrizes $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ Essa matriz identidade maior representa a operação identidade no sistema conjunto $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

Em resumo, temos a seguinte sequência de igualdades:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Concluímos, portanto, que $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ é unitário.

Uma situação importante que ocorre frequentemente é aquela em que uma operação unitária é aplicada a apenas um sistema — ou a um subconjunto próprio de sistemas — dentro de um sistema conjunto maior. Suponha, por exemplo, que $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ são sistemas que podemos considerar juntos como um único sistema composto $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, e realizamos uma operação apenas no sistema $\mathsf{X}$. Para ser preciso, suponha que $U$ é uma matriz unitária que representa uma operação em $\mathsf{X}$, de modo que suas linhas e colunas foram colocadas em correspondência com os estados clássicos de $\mathsf{X}$.

Dizer que realizamos a operação representada por $U$ apenas no sistema $\mathsf{X}$ implica que não fazemos nada com $\mathsf{Y}$, o que significa que realizamos independentemente $U$ em $\mathsf{X}$ e a operação identidade em $\mathsf{Y}$. Ou seja, "não fazer nada com $\mathsf{Y}$" é equivalente a realizar a operação identidade em $\mathsf{Y}$, que é representada pela matriz identidade $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$. (Aqui, a propósito, o índice $\mathsf{Y}$ nos diz que $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ se refere à matriz identidade com um número de linhas e colunas correspondente ao conjunto de estados clássicos de $\mathsf{Y}$.) A operação em $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ obtida quando realizamos $U$ em $\mathsf{X}$ e não fazemos nada com $\mathsf{Y}$ é, portanto, representada pela matriz unitária

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Por exemplo, se $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ são qubits, realizar uma operação Hadamard em $\mathsf{X}$ e não fazer nada com $\mathsf{Y}$ é equivalente a realizar a operação

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

no sistema conjunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

De forma semelhante, quando uma operação representada por uma matriz unitária $U$ é aplicada a $\mathsf{Y}$ e nada é feito com $\mathsf{X}$, a operação resultante em $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ é representada pela matriz unitária

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Por exemplo, se novamente considerarmos a situação em que $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ são qubits e $U$ é uma operação Hadamard, a operação resultante em $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ é representada pela matriz

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

Nem toda operação unitária em uma coleção de sistemas pode ser escrita como um produto tensorial de operações unitárias dessa forma, assim como nem todo vetor de estado quântico desses sistemas é um estado produto. Por exemplo, nem a operação Swap nem a operação NOT controlado em dois qubits, descritas a seguir, podem ser expressas como produto tensorial de operações unitárias.

A operação Swap

Para concluir a lição, vamos dar uma olhada em duas classes de exemplos de operações unitárias em múltiplos sistemas, começando pela operação Swap.

Suponha que $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ são sistemas que compartilham o mesmo conjunto de estados clássicos $\Sigma$. A operação Swap no par $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ é a operação que troca o conteúdo dos dois sistemas, mas os deixa no mesmo lugar — de modo que $\mathsf{X}$ permanece à esquerda e $\mathsf{Y}$ permanece à direita. Denotamos essa operação como $\operatorname{SWAP},$ e ela funciona da seguinte forma para qualquer escolha de estados clássicos $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Uma maneira de escrever a matriz associada a essa operação usando a notação de Dirac é a seguinte:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Pode não ser imediatamente óbvio que essa matriz representa $\operatorname{SWAP}$, mas podemos verificar que ela satisfaz a condição $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ para qualquer escolha de estados clássicos $a,b\in\Sigma$. Como um exemplo simples, se $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ são qubits, descobrimos que

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Operações unitárias controladas

Suponha agora que $\mathsf{Q}$ é um qubit e $\mathsf{R}$ é um sistema arbitrário que pode ter qualquer conjunto de estados clássicos que desejarmos. Para qualquer operação unitária $U$ que age sobre o sistema $\mathsf{R}$, uma operação controlada-$U$ é uma operação unitária no par $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$, definida da seguinte forma:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Por exemplo, se $\mathsf{R}$ também é um qubit e consideramos a operação Pauli-$X$ em $\mathrm{R}$, então uma operação controlada-$X$ é dada por

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Já encontramos essa operação no contexto de informação clássica e operações probabilísticas anteriormente na lição. Substituindo a operação Pauli-$X$ em $\mathsf{R}$ por uma operação $Z$, obtemos esta operação:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Se em vez disso tomarmos $\mathsf{R}$ como dois qubits e $U$ como a operação Swap entre esses dois qubits, obtemos esta operação:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Essa operação também é conhecida como operação de Fredkin ou mais comumente como gate de Fredkin. Seu efeito sobre os estados da base padrão pode ser descrito da seguinte forma:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Por fim, uma operação NOT controlado-controlado, que podemos denotar como $CCX$, é chamada de operação de Toffoli ou gate de Toffoli. Sua representação matricial é a seguinte:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Podemos expressá-la alternativamente usando a notação de Dirac da seguinte forma:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$