Fundamentos de mecânica quântica

Introdução

No vídeo a seguir, Olivia Lanes guia você pelo conteúdo desta lição. Alternativamente, você pode abrir o vídeo do YouTube desta lição em uma janela separada.

Na lição anterior, aprendemos como produzir um estado emaranhado de dois qubits, conhecido como "estado de Bell". Quando medimos o estado, vimos que as medições dos dois qubits estavam correlacionadas: quando um foi medido como 0, o outro também foi medido como 0, e quando um era 1, o outro também foi medido como 1. Vimos que esta é uma marca registrada do emaranhamento quântico. Hoje vamos nos aprofundar nesse estado e no que ele revela sobre a física quântica fundamental para a computação quântica.

O estado de Bell

Muitos dos fenômenos quânticos que fazem os computadores quânticos se comportarem de maneira diferente dos computadores clássicos já estão presentes no estado de Bell aparentemente simples que produzimos na lição anterior. Vamos retomar aquele circuito do estado de Bell:

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q qiskit

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(2)
qc.h(0)
qc.cx(0, 1)
qc.measure_all()
qc.draw("mpl")

A imagem acima representa o circuito quântico para criar o estado de Bell $\vert\Phi^+\rangle$. As duas linhas horizontais pretas representam nossos dois qubits, e as caixas e outros símbolos nessas linhas representam portas ou operações realizadas nos qubits correspondentes. A linha dupla cinza é um barramento de informação clássica que nos permite armazenar a informação clássica que obtemos ao medir os dois qubits. Vamos nos aprofundar nos detalhes deste circuito e do estado de Bell resultante para entender os fundamentos da computação quântica.

A matemática da computação quântica

Representação de estado quântico

Primeiro, precisamos de uma linguagem comum na qual discutir estados e circuitos quânticos. Existem algumas maneiras diferentes de representar estados quânticos. A primeira é com a notação de Dirac. Na notação de Dirac, o estado fica assim:

$$\vert \Phi^+\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} ( \vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle )$$

Aqui, o estado é escrito dentro de colchetes angulares e barras verticais. Os dois termos representam, cada um, os dois resultados possíveis de medição do estado. Então, quando medimos este estado, encontraremos que ambos os qubits estão no estado 0 ou que ambos estão no estado 1. O $\frac{1}{\sqrt{2}}$ é chamado de "constante de normalização". Ele está lá para garantir que a soma dos quadrados de cada um dos coeficientes no estado seja igual a $1$. Discutiremos por que isso ocorre mais tarde, na seção sobre medições.

A segunda forma de representar um estado é na linguagem padrão da álgebra linear: como um vetor, onde cada entrada do vetor representa um resultado de medição possível diferente. Nesta notação, nosso estado de Bell seria escrito assim:

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ~.$$

Por convenção, as entradas do vetor são ordenadas da seguinte forma:

• A primeira entrada corresponde ao estado de dois qubits $\vert00\rangle$
• A segunda a $\vert01\rangle$
• A terceira a $\vert10\rangle$
• A quarta a $\vert11\rangle$

Como esperado, no vetor de estado de Bell $\vert\Phi^+\rangle$, a primeira e a quarta entradas são diferentes de zero, enquanto a segunda e a terceira entradas são zero. A constante de normalização $1/\sqrt{2}$ garante que o comprimento do vetor seja $1$.

Uma nota sobre a ordenação dos qubits

O Qiskit usa a ordenação little endian. Isto significa que o qubit mais à direita é considerado o primeiro qubit (ou o menos significativo), e o qubit mais à esquerda é o qubit mais significativo. Então, quando escrevemos um estado como $\vert01\rangle$:

• o bit mais à direita corresponde ao qubit $0$ e está no estado $\vert1\rangle$.
• o bit mais à esquerda corresponde ao qubit $1$ e está no estado $\vert0\rangle$.

Representação de portas

Assim como os estados podem ser representados como vetores, as portas podem ser representadas como matrizes. Uma porta atua sobre um estado transformando seu vetor em um novo vetor.

Cada porta corresponde a uma matriz específica que dita como o estado será transformado. Aplicamos essa transformação multiplicando a matriz da porta e o vetor de estado original, com a matriz da porta à esquerda do vetor de estado, assim:

$$U |\psi\rangle$$

onde $U$ representa a matriz da porta e $|\psi\rangle$ representa o vetor de estado.

Vamos olhar para a porta Hadamard como exemplo. A porta Hadamard é uma porta de qubit único (a caixa vermelha rotulada "H" no diagrama de circuito acima) que transforma o estado $\vert0\rangle$ em $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle+\vert1\rangle)$ e o estado $\vert1\rangle$ em $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle-\vert1\rangle)$. Em notação matricial, a Hadamard é assim:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} ~.$$

Verifique seu entendimento

Use a multiplicação de matrizes para mostrar que a matriz Hadamard transforma os estados conforme esperado. (Se necessário, você pode aprender como fazer multiplicação de matrizes.)

Resposta

$$H |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$$$H |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$

Há algumas coisas a serem lembradas sobre as matrizes de portas:

1. Elas são sempre matrizes quadradas, $N \times N$, onde $N$ é também a dimensão do vetor de estado ao qual elas são aplicadas. Por exemplo, quando você tem apenas um único qubit, o vetor de estado é bidimensional, representando os dois estados possíveis 0 e 1 do qubit. Neste caso, as dimensões da matriz da porta aplicada a este sistema seriam $2\times 2$.
2. Portas quânticas são reversíveis. Em outras palavras, você pode encontrar outra matriz que é a inversa da porta, que desfaz a ação da porta e transforma os qubits de volta ao seu estado original.
3. Portas quânticas também preservam o comprimento dos vetores que transformam. Os vetores de estado quântico sempre terão comprimento $1$ (garantido pelas constantes de normalização que discutimos anteriormente). As portas não os alongam nem os encurtam, mas simplesmente os giram.

Estas são todas propriedades de matrizes unitárias. Se tiver curiosidade sobre mais propriedades matemáticas das matrizes unitárias, leia mais sobre elas na lição de John Watrous sobre múltiplos sistemas no curso Fundamentos da Informação Quântica.

Como funcionam as medições

Quando medimos um estado quântico, o resultado é sempre um dos resultados possíveis (para um único qubit, 0 ou 1). Qual resultado obtemos é aleatório, mas o estado quântico nos diz as probabilidades de cada resultado.

As entradas no vetor de estado determinam essas probabilidades. Para obter a probabilidade de um determinado resultado, tomamos o quadrado da entrada correspondente a esse resultado. Por exemplo, se um qubit está no estado:

$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle),$$

a primeira entrada (correspondente a 0) é $1/\sqrt{2}$, e a segunda entrada (correspondente a 1) também é $1/\sqrt{2}$. Elevando esses números ao quadrado, obtemos

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} = 0.5,$$

o que significa que há 50% de chance de medir 0 e 50% de chance de medir 1.

Lembre-se de que a soma de todas as entradas elevadas ao quadrado sempre soma 1. Isso faz sentido porque, quando medimos, temos a garantia de obter algum resultado, então as probabilidades de todos os resultados possíveis devem totalizar 100%.

Após a medição, o qubit colapsa para o resultado observado, e qualquer superposição anterior é perdida. O qubit agora se comporta como um bit clássico. As medições são fundamentalmente diferentes das portas quânticas. Enquanto as portas mudam os estados quânticos de maneira determinística e reversível, a medição é inerentemente aleatória e irreversível.

Medição em diferentes bases

Por padrão, quando você mede um qubit em um circuito quântico, você está medindo o estado do qubit apenas ao longo de um eixo. Isso é chamado de base computacional, ou base $Z$, que é definida pelos estados $\vert 0\rangle$ e $\vert 1\rangle$. Você pode pensar no estado $\vert 0\rangle$ como um vetor apontando diretamente para cima, e no estado $\vert 1\rangle$ como um vetor apontando diretamente para baixo. Então, uma medição na base $Z$ responde à pergunta: "O estado do qubit está apontando para cima ou para baixo?"

Mas este não é o único tipo de pergunta que podemos fazer a um qubit. O vetor de estado de um qubit não aponta apenas para cima ou para baixo. Uma superposição de $\vert 0\rangle$ e $\vert 1\rangle$ resultará em um vetor de estado que aponta em qualquer direção no espaço tridimensional — qual direção precisamente depende das amplitudes e fases relativas das duas partes da superposição. Portanto, embora uma medição padrão na base $Z$ pergunte "para cima ou para baixo?", você também pode perguntar "esquerda ou direita?" ou "frente ou trás?"

Estas perguntas correspondem a medições em bases diferentes. Cada base tem seu próprio conjunto de dois vetores de base, que definem os dois resultados possíveis de medição naquela base (como $\vert 0\rangle$ ou $\vert 1\rangle$ para a base $Z$).

• Os resultados de medição na base Z colapsam para $\vert 0\rangle$ ou $\vert 1\rangle$
• Os resultados de medição na base X colapsam para $\vert +\rangle$ ou $\vert -\rangle$
• Os resultados de medição na base Y colapsam para $\vert i\rangle$ ou $\vert -i\rangle$

onde

$$\begin{aligned} \lvert +\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + \lvert 1\rangle) \\ \lvert -\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - \lvert 1\rangle) \\ \lvert i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + i\lvert 1\rangle) \\ \lvert -i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - i\lvert 1\rangle) \end{aligned}$$

onde $i=\sqrt{−1}$ é a unidade imaginária. Aqui estamos vendo pela primeira vez superposições com uma diferença de fase entre as duas partes. A fase é tipicamente escrita como $e^{i\theta}$, onde $\theta$ é o ângulo da amplitude de um estado quântico no plano complexo — um plano bidimensional onde o eixo horizontal representa números reais e o eixo vertical representa números imaginários. Você pode pensar nisso de forma mais intuitiva como o quanto uma onda está deslocada em relação a outra: seus picos estão alinhados ou uma onda está deslocada de modo que seu pico encontre o vale da outra?

Matrizes de Pauli e observáveis

Existem três matrizes, as chamadas matrizes de Pauli, que se relacionam com essas três escolhas diferentes de base $X$, $Y$ e $Z$:

$$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Como exatamente elas se relacionam com as bases de medição? À primeira vista, parecem matrizes de portas comuns — e elas são. Cada matriz de Pauli pode atuar sobre um qubit e mudar seu estado:

• Pauli-X inverte $|0\rangle$ e $|1\rangle$, como uma porta NOT clássica.
• Pauli-Z deixa $|0\rangle$ inalterado, mas multiplica $|1\rangle$ por $-1$, mudando a fase relativa.
• Pauli-Y inverte o qubit e introduz uma fase.

Mas as matrizes de Pauli têm uma segunda interpretação igualmente importante. Na mecânica quântica, qualquer quantidade mensurável é chamada de observável, e os observáveis são representados por matrizes. As matrizes de Pauli correspondem a medições ao longo de três eixos diferentes, e seus autoestados correspondem aos dois resultados possíveis de medição ao longo de cada eixo. (Se você não estiver familiarizado com o termo autoestado, tudo bem — eles são apenas vetores especiais associados a uma dada matriz.)

• $Z$ → medição na base Z ($|0\rangle$, $|1\rangle$)
• $X$ → medição na base X ($|+\rangle$, $|-\rangle$)
• $Y$ → medição na base Y ($|i\rangle$, $|-i\rangle$)

Isso explica por que as matrizes de Pauli parecem ter um papel duplo. Elas atuam sobre estados (como portas) e definem direções de medição (como observáveis). Ambos os papéis vêm da mesma matemática subjacente.

Então, na prática, como medir na base X ou Y? Por padrão, nossos computadores quânticos só estão configurados para medir na base Z. Portanto, você precisa mudar de base girando o vetor de estado do qubit de modo que a informação de seu interesse, seja X ou Y, agora aponte na direção Z. Em seguida, basta realizar uma medição Z como de costume.

Por exemplo, medir na base X pode ser feito aplicando uma porta Hadamard e, em seguida, medindo na base Z. A Hadamard gira o estado de modo que a "informação X" se torne "informação Z". Depois disso, uma medição normal faz o trabalho.

Você verá mais sobre as matrizes de Pauli na próxima lição, quando aplicarmos nossas novas habilidades de escrita de circuitos quânticos a um problema real da física quântica.

O circuito do estado de Bell

Agora que temos um ponto de partida — sabemos que os estados podem ser representados por vetores, as portas podem ser representadas por matrizes e as medições fazem com que um estado "colapse" — vamos percorrer o circuito que cria e mede o estado de Bell acima.

Começamos com o estado inicial de dois qubits em $|00\rangle$:

$$|00\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Crie a superposição

O circuito começa aplicando uma porta Hadamard ao qubit 0. Como vimos na seção anterior, a Hadamard leva o qubit de um estado definido, $|0\rangle$ ou $|1\rangle$, a uma combinação de ambos os estados. Lembre-se de que a porta Hadamard é:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Para aplicá-la ao primeiro qubit em um sistema de dois qubits, usamos uma matriz expandida 4x4 que aplica $H$ ao qubit 0 enquanto deixa o qubit 1 inalterado. Pense nisso como "aplique $H$ ao primeiro qubit e não toque no segundo qubit":

$$H_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Em seguida, multiplicamos isso pelo vetor de estado inicial:

$$H_0 |00\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |01\rangle)$$

Agora o qubit 0 está em um estado de superposição.

Mais sobre superposição quântica

Uma superposição quântica do tipo acima é frequentemente descrita como o qubit estando em ambos os estados ao mesmo tempo. No entanto, quando medimos este estado de superposição, o resultado é sempre $0$ ou $1$ — nunca podemos observar diretamente a própria superposição. Na verdade, a frase "o qubit está em ambos os estados ao mesmo tempo" pode ser enganosa. Uma maneira mais precisa de descrevê-la é que uma superposição é uma descrição matemática do estado quântico que nos permite calcular as probabilidades de diferentes resultados de medição. Algumas pessoas pensam que as superposições são fisicamente reais, mas esta é uma interpretação filosófica que não pode ser testada; a mecânica quântica apenas prevê as probabilidades dos resultados de medição.

Diferentemente de uma distribuição de probabilidade clássica, uma superposição quântica também permite que os diferentes componentes interfiram entre si, como ondas sobrepostas que podem se amplificar ou se cancelar. Essa interferência é o que permite aos algoritmos quânticos produzirem padrões de resultados de medição que seriam impossíveis apenas com aleatoriedade clássica.

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Emaranhe os qubits

Em seguida, é aplicada uma porta controlled-NOT (CNOT) (mostrada como o ponto azul, a linha vertical e o círculo com o sinal de mais conectando os dois qubits). Esta porta emaranha os dois qubits. Após esta etapa, o estado de um qubit não pode ser descrito independentemente do outro.

A porta CNOT inverte o qubit 1 (chamado de qubit alvo) somente se o qubit 0 (chamado de qubit de controle) estiver no estado $\vert 1\rangle$. Sua matriz é:

$$\text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Aplique-a ao estado da Etapa 1:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$$

Agora os qubits estão emaranhados: medir um determina imediatamente o outro.

Mais sobre emaranhamento quântico

O emaranhamento, como a superposição, é um fenômeno quântico que não tem análogo clássico. Em sistemas clássicos, dois bits correlacionados podem ter seus valores ligados, mas cada bit ainda tem um valor definido — mesmo que não o conheçamos. Por exemplo, se duas moedas estão coladas para sempre cair da mesma forma, uma moeda saindo cara imediatamente lhe diz que a outra é cara. Mas antes de olharmos, cada moeda já está em um estado definido.

Com qubits emaranhados, a situação é fundamentalmente diferente. Antes da medição, nenhum dos qubits tem um valor definido por si só. Apenas o par tem um estado bem definido. Medir um qubit afeta instantaneamente as probabilidades para o outro, não importa quão distantes estejam. Este é um efeito puramente quântico: não pode ser explicado por estatísticas clássicas ou por informações ocultas sobre os qubits individuais.

Meça os estados

Por fim, ambos os qubits são medidos. Quando medimos, o estado quântico colapsa para um dos estados classicamente permitidos:

• 00 com probabilidade $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.
• 11 com probabilidade $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.

Isto reproduz os resultados de medição correlacionados que observamos no circuito da Lição 1.

Conclusão

Nesta lição, fizemos um tour relâmpago pelos conceitos da mecânica quântica e ferramentas matemáticas necessárias para executar circuitos quânticos em um computador quântico com confiança e independência. Apresentamos como os estados quânticos são representados, como as portas transformam esses estados, como funciona a medição e como a superposição e o emaranhamento surgem naturalmente em circuitos simples.

Na Lição 3, colocaremos essas ideias em prática percorrendo todo o fluxo de trabalho de resolver um problema de brinquedo em um computador quântico e interpretar os resultados.

Objetivo de aprendizagem

Lembre-se do objetivo de aprendizagem da Lição 1, onde desafiamos você a alterar o circuito para criar o estado de Bell $\Psi^-$. Agora, usando esse circuito, trabalhe com a álgebra matricial e confirme que seu circuito produz o estado desejado. (Dica: você precisará descobrir a forma matricial de uma porta NOT ou X.)