Formalismo matemático

Dada a tarefa de aprender o ruído de Pauli para um conjunto de gates de Clifford, uma técnica de análise comum é acompanhar como operadores de Pauli individuais são transformados ao longo de uma sequência de aplicações de gates (sob a hipótese de que os gates são de Clifford e o ruído é um canal de Pauli, um único Pauli sempre será mapeado em outro Pauli, a menos de um escalar que é função do ruído). Obviamente, a evolução de qualquer estado sob tal sequência pode ser capturada por uma combinação linear dessas trajetórias, mas, sob a hipótese de que sempre preparamos o estado em um autoestado de Pauli e sempre medimos e pós-processamos os resultados para calcular o valor esperado de um operador de Pauli, a relação entre o valor esperado e os parâmetros do modelo de ruído dependerá sempre de apenas uma dessas trajetórias. Isso decorre do fato simples de que o estado inicial é uma combinação linear de operadores de Pauli, cada gate e modelo de ruído mapeia Paulis em Paulis e preserva sua ortogonalidade, e o valor esperado final “seleciona” apenas um dos Paulis na decomposição final antes da medição.

Esse tipo de raciocínio aparece em muitas linhas de pesquisa paralelas em noise learning, incluindo a literatura de aprendizado de conjuntos de gates de Pauli [1, 2], a literatura de ACES [3] e a literatura de cycle benchmarking [4]. Esse raciocínio foi generalizado em [5] para incluir gates Clifford-MCM (um gate de Clifford seguido de uma medição projetiva no meio do circuito). Este pacote segue mais de perto [1, 5]. Embora não seja nomeado explicitamente, adotamos o formalismo do Pattern Transfer Graph (PTG) para descrever como os operadores de Pauli evoluem através dos circuitos de aprendizado, fornecendo uma representação de dados direta dos caminhos pelo grafo.

A seguir está uma revisão de alguns conceitos matemáticos centrais da literatura. Ela serve principalmente para consolidar a notação e como referência conceitual da documentação para o restante do pacote.

1. Fundamentos

1.1 Notação

Para $K \in \mathbb{N}$, seja $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$. Para um conjunto finito $S \subset \mathbb{N}$ de índices de qubits, seja $\mathcal{P}^S$ o conjunto de operadores de Pauli sem fase que atuam nesses qubits. Note que pensamos nos elementos de $\mathcal{P}^S$ como funções que mapeiam $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$, de modo que, para quaisquer $P \in \mathcal{P}^S$ e $T \subseteq S$, $P|_T$ denota a restrição de $P$ ao subconjunto de qubits $T$. Nessa linha, para conjuntos disjuntos $S, T$, e $P \in \mathcal{P}^S$ e $Q \in \mathcal{P}^T$, $P \otimes Q$ denota o elemento de $\mathcal{P}^{S \cup T}$ tal que $P \otimes Q |_S = P$ e $P \otimes Q |_T = Q$. Essa notação ajuda a evitar lidar explicitamente com ordenações de subsistemas e facilita a descrição de restrições.

Para subconjuntos finitos $M \subset \mathbb{N}$, denotamos por $\mathbb{Z}_2^M$ o conjunto das cadeias de bits cujos elementos são indexados por $M$. De forma semelhante ao acima, pensamos nos elementos como funções que mapeiam $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$, de modo que possamos descrever facilmente subcadeias em termos de restrições do conjunto de índices.

Por fim, para uma matriz $X$, usamos $| X \rangle\!\rangle$ para denotar sua vetorização. Dada a maneira limitada como usamos essa notação, não é realmente necessário escolher uma convenção de vetorização específica. Para uma cadeia de bits clássica $m$, usamos a abreviação $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$.

1.2 Instrumentos quânticos

Uma operação quântica que produz bits clássicos $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (por exemplo, o resultado de uma medição) é geralmente modelada como um mapa linear da forma:

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

em que o conjunto $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ é completamente positivo e $\sum_m \mathcal{E}_m$ preserva o traço. Um conjunto de mapas completamente positivos $\{\mathcal{E}_m\}$ que satisfaz essas propriedades é chamado de instrumento quântico. Um gate unitário é um caso especial de instrumento com apenas um elemento, que é uma operação unitária.

2. Gates Clifford-MCM-reset ruidosos

O formalismo utilizado neste pacote assume que todo gate do conjunto de gates a ser caracterizado consiste na seguinte sequência de operações em $K$ qubits:

1. Uma operação de Clifford em todos os qubits.

2. Uma medição projetiva no meio do circuito ao longo de $Z$ em algum subconjunto de qubits $M \subseteq [K]$.

3. Um reset no meio do circuito para o estado fundamental de $Z$ em algum subconjunto de qubits $R \subseteq [K]$.

Esta é uma classe geral de operações que inclui gates unitários de Clifford, medição, preparação de estado e qualquer combinação dos itens acima. Note que assumimos que a medição e o reset são sempre ao longo do eixo $Z$ de cada qubit. Embora isso não seja estritamente necessário, é uma característica comum a muitas modalidades de computação quântica e permite representações e análises simplificadas.

Conforme descrito em [5, 6] para o caso sem reset, se uma estratégia de twirling específica for aplicada a uma instância ruidosa de tal gate, a ação da operação resultante pode ser modelada matematicamente como um instrumento de Pauli uniforme. Ou seja, dentro da notação de instrumentos quânticos, $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$, em que $G$ é o unitário de Clifford, e:

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

em que cada $\Lambda_{a,b}$ é um canal de Pauli sub-normalizado nos qubits não medidos $N = [K] \setminus M$. Por ser um instrumento quântico, está implícito que $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ também preserva o traço. Algumas observações:

• Modela-se que o ruído inicial sem twirling inclui tanto erros “quânticos” quanto “clássicos”: operações errôneas nos registradores quânticos, bem como erros no relato do valor da medição.

• O mapa de ruído $\Lambda_{a,b}$ é independente do resultado da medição $m$.

Em palavras, um único termo da soma acima representa observar um resultado de medição $m$ quando o estado medido era $| m + b \rangle$ (uma classificação incorreta se $b \neq 0$), e quando o estado de saída no registrador de medição é $| m + a \rangle$ (o estado “errado” quando $a \neq 0$). O mapa $\Lambda_{a,b}$ codifica simultaneamente a ação nos qubits não medidos (condicionada ao comportamento da medição) e a probabilidade do comportamento específico da medição (por meio da normalização).

Note que aqui não nos preocupamos com os detalhes da estratégia de twirling: basta que exista uma estratégia que coloque o canal na forma acima. Note que existem estratégias de twirling “mais finas” que podem restringir ainda mais a forma dos canais de Pauli [7]; no entanto, tomamos a forma acima como a representação matemática mais geral considerada.

No Lema 1 de [5], mostra-se que $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ pode ser reescrito como:

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

para alguns números reais $\lambda_{x,y}^Q$, chamados de fidelidades do instrumento.

Adicionar reset a esse quadro é relativamente simples. Uma operação de reset ruidosa nos qubits $R \subset [K]$ pode ser modelada de acordo com a decomposição:

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

A forma acima utiliza explicitamente a hipótese de que o reset é ao longo do eixo $Z$ de cada qubit. O ruído na operação é codificado nas fidelidades de reset $\lambda_r$, que são indexadas simplesmente por subconjuntos de qubits.

Um análogo da Equação (1) que inclui uma operação de reset no final pode ser obtido simplesmente compondo-a com a Equação (2). Essa composição, após alguma simplificação, resulta em:

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

Essa decomposição indica que o número de fidelidades $\lambda^Q_{x, y}$ é

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

Considere os casos limites: (1) Sem medição nem reset, $M = R = \emptyset$, e a expressão resulta em $4^K$, o número de operadores de Pauli sem fase em $K$ qubits. (2) Para $M = \emptyset$ e $R=[K]$, resulta em $2^K$, que é o número de subconjuntos de $[K]$. Por fim, (3) para $M = [K]$ e $R = \emptyset$, resulta em $4^K$. Note que isso pode parecer surpreendente à primeira vista: no aprendizado padrão, medição e reset costumam ser considerados como tendo o mesmo número de fidelidades: $2^K$. No entanto, aqui o gate de medição total neste contexto é entendido não como uma medição terminal, mas como uma MCM e, assim, as fidelidades correspondentes a saídas da medição diferentes da identidade também são incluídas (como $y \neq 0$ na Equação (3)).

Por fim, é importante observar que qualquer estratégia de twirling que produza a forma da Equação (1) no caso sem reset também se aplica igualmente bem ao caso de reset não trivial, com uma modificação simples. O problema potencial é que essa estratégia de twirling pode exigir operações nos qubits medidos após a medição. Portanto, se um qubit é medido e resetado, implementar a estratégia aparentemente exige inserir operações dentro do gate, entre a medição e o reset. No entanto, dada a natureza do reset, essas operações não têm efeito e podem simplesmente ser omitidas, ainda produzindo a mesma estrutura desejada.

3. Formalismo de caminhos

Como descrito na introdução, todos os algoritmos de aprendizado de ruído do tipo Pauli em gates de Clifford se baseiam em acompanhar como Paulis individuais evoluem por um circuito, acumulando fatores de fidelidade de ruído ao longo do caminho. Os valores esperados de um circuito composto por tais gates estão, portanto, relacionados simplesmente a produtos das fidelidades subjacentes dos gates individuais e, dessa forma, os parâmetros do modelo podem ser inferidos invertendo o mapeamento esparso de parâmetros para fidelidades que estiver sendo assumido.

Em [1], no contexto de conjuntos de gates unitários, isso é formalizado no Pattern Transfer Graph (PTG): um grafo direcionado que descreve todos os experimentos possíveis compostos por elementos do conjunto de gates e camadas de gates de Clifford de um qubit (assumidas como operações perfeitas, ou “gratuitas”). Isso foi generalizado em [5] para incluir conjuntos de gates com medições no meio do circuito. Em ambos os casos, cada experimento é descrito acompanhando um único operador de Pauli pelo circuito, sob a hipótese de que um observável específico é calculado em cada ponto de medição. Aqui não revisamos diretamente as construções do grafo ou dos caminhos; porém, apresentamos os fatos necessários para justificá-las dentro de nossa própria notação e com resets incluídos.

Embora acompanhar um único operador de Pauli pelo circuito possa ser intuitivo no caso de conjuntos de gates unitários, isso não é tão evidente no caso mais geral Clifford-MCM-reset, devido à natureza não determinística da medição. A proposição a seguir recupera esse quadro mesmo no caso mais geral [5]:

Proposição 1

Para quaisquer $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ e $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$, vale que:

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

Em outras palavras, se calculamos o valor esperado $Z^{x + y|_M}$ no registrador clássico produzido pela MCM, então a evolução “na representação de Heisenberg” de um observável pelo gate Clifford-MCM-reset mapeia $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$. Só esse fato já permite recuperar uma análise do tipo PTG além do caso de conjuntos de gates unitários: com um pós-processamento específico dos resultados de medição, até gates com medições e resets podem ser vistos como mapeando deterministicamente um operador de Pauli em outro.

Antes de provar isso, escrevemos a Equação (3) de uma forma mais sugestiva. Note que, para $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$, vale que $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$ e, portanto (na notação de superoperadores), temos:

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

em que aplicamos a Equação (3) e agrupamos os termos, e usamos o subscrito $M$ para indicar o registrador clássico do resultado da medição, que tratamos acima em uma notação semelhante à dos registradores quânticos.

Demonstração. Vale que:

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

Por fim, observe que $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$ e, portanto, o último termo acima se reduz ao único termo $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$, resultando no que queríamos.

Veja [5] para o desenvolvimento a partir deste ponto: a definição do PTG, os caminhos pelo PTG e a prova de que qualquer caminho bem definido corresponde a um experimento.

Referências

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.