A natureza dos estados quânticos: variáveis ocultas versus a desigualdade de Bell

Para este módulo do Qiskit in Classrooms, os estudantes precisam ter um ambiente Python funcional com os seguintes pacotes instalados:

• qiskit v2.1.0 ou mais recente
• qiskit-ibm-runtime v0.40.1 ou mais recente
• qiskit-aer v0.17.0 ou mais recente
• qiskit.visualization
• numpy
• pylatexenc

Para configurar e instalar os pacotes acima, consulte o guia Instalar o Qiskit. Para executar jobs em computadores quânticos reais, os estudantes precisarão criar uma conta no IBM Quantum® seguindo os passos do guia Configurar sua conta IBM Cloud.

Este módulo foi testado e utilizou 12 segundos de tempo de QPU. Isso é apenas uma estimativa. O uso real pode variar.

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!pip install -q numpy qiskit qiskit-ibm-runtime

# Uncomment and modify this line as needed to install dependencies
#!pip install 'qiskit>=2.1.0' 'qiskit-ibm-runtime>=0.40.1' 'qiskit-aer>=0.17.0' 'numpy' 'pylatexenc'

Assista ao tutorial do módulo com a Dra. Katie McCormick abaixo, ou clique aqui para assistir no YouTube.

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Contexto

Em muitos cálculos ao longo da mecânica quântica, você começa com um estado conhecido de um sistema, e esse estado é tipicamente conhecido por meio de uma medição. Hoje queremos responder à pergunta: "O que você pode dizer sobre o estado de uma partícula antes de qualquer medição?" Um corolário óbvio é: "Como podemos saber, se não é permitido medir?"

Essa questão remonta aos primórdios da mecânica quântica. Os pioneiros da área se dividiram em facções: Einstein e muitos outros afirmavam que uma partícula simplesmente se encontra em algum estado desconhecido antes da medição. Outros, notavelmente Max Born, e mais tarde Niels Bohr, fizeram uma afirmação mais radical: o estado de uma partícula era verdadeiramente indeterminado pela natureza antes da medição — não apenas desconhecido para os seres humanos. A medição colapsaria então probabilisticamente a partícula em um estado definido. Einstein, insatisfeito com essa explicação, famosamente ironizou: "Gott würfelt nicht", que se traduz aproximadamente como "Deus não joga dados."

Por décadas após esse desacordo surgir, muitos achavam que ele talvez nunca fosse resolvido, ou que era uma questão de perspectiva. Então, em 1964, John Bell, um físico da Irlanda do Norte, escreveu um artigo no qual explorou as estatísticas de certos experimentos que poderiam responder definitivamente a essa questão. Ele mostrou que, em um teste específico, se chega a um conjunto de estatísticas a partir de estados quânticos definidos (porém desconhecidos), e a um conjunto diferente de estatísticas a partir de estados quânticos indeterminados pela natureza.

Na época do artigo de Bell, os testes experimentais das estatísticas envolvidas eram inacessíveis a todos, exceto aos pesquisadores na vanguarda da física. Mas hoje, a IBM Quantum tornou possível para estudantes de todo o mundo usar dispositivos quânticos reais, remotamente pela nuvem e de forma gratuita, para explorar a natureza dos estados quânticos. É isso que você fará hoje.

Configuração do experimento mental: emaranhamento de spin

Existem processos em que uma partícula sem spin se desintegra em duas partículas, cada uma com spin. Como o spin é uma forma de momento angular, a lei de conservação do momento angular sugere que as duas partículas resultantes devem ter spins exatamente anti-alinhados. De fato, isso é observado experimentalmente.

Um exemplo: um méson pi neutro às vezes se desintegra em um pósitron e um elétron: $\pi^0\rightarrow e^+ + e^-$ Não se preocupe se você não sabe o que são essas partículas, e não se preocupe se as conhece tão bem que sabe que esse tipo de desintegração é relativamente raro. Saiba apenas que, se uma das partículas resultantes tiver spin para cima, a outra terá spin para baixo, e vice-versa. Claro, não há nada de especial em "para cima" e "para baixo"; o mesmo anti-alinhamento é observado se as medições forem feitas ao longo do que normalmente chamamos de $x$ ou $y$. Essa desintegração é um contexto convincente para considerarmos, pois podemos contornar questões sobre quais medições ocorreram no passado; o pósitron e o elétron nem sequer existiam até o momento da desintegração.

Podemos deixar os mésons $\pi^0$ se desintegrarem e observar a deflexão das partículas resultantes sob a influência de um campo magnético não homogêneo. Um campo não homogêneo usado para deflectir spins é frequentemente chamado de dispositivo de Stern-Gerlach, em homenagem aos pesquisadores que o usaram pela primeira vez para (acidentalmente) obter evidências da existência do spin mecânico-quântico. Note que a situação aqui é mais complicada que o experimento original, pois o elétron e o pósitron também são carregados (diferente dos átomos de prata no experimento de Stern-Gerlach). Mas sabemos como partículas carregadas se movem em um campo magnético, e podemos subtrair esse efeito. No que se segue, assumiremos que as deflexões usadas nos nossos cálculos se devem ao spin das partículas e não à carga. Consequentemente, para nossos propósitos, não importa qual observador recebe o pósitron e qual recebe o elétron. A configuração experimental é algo parecido com isto:

À medida que o méson se desintegra, um elétron é ejetado em uma direção e um pósitron na outra. Cada uma dessas duas partículas viajará através de um campo magnético não homogêneo, fazendo com que ela seja deflectida na direção do campo magnético ou na direção oposta.

Se tivermos uma fonte de muitos mésons, podemos coletar estatísticas sobre isso. Se um observador à esquerda e outro à direita (chame-os de Lucas e Rihanna, respectivamente) sempre medirem ao longo do mesmo eixo, essas estatísticas não serão muito interessantes: toda vez que um mede para cima, o outro mede para baixo; toda vez que um mede entrando na página, o outro medirá saindo da página, e assim por diante. No entanto, se os participantes estiverem livres para medir o spin ao longo de qualquer direção que desejarem, podemos encontrar algo mais interessante.

O experimento descrito acima, no qual partículas saem com momento angular de spin medido por dois observadores, foi inicialmente proposto por Einstein, Podolsky e Rosen (EPR) neste artigo, e isso às vezes é chamado de "experimento EPR".

Nossas opções

Vamos reafirmar os dois pontos de vista históricos, para maior clareza:

Opção 1 (Einstein): Os dois spins (o elétron e o pósitron) são determinados, no sentido de que o resultado de qualquer medição ao longo de qualquer eixo é pré-determinado pela natureza, mesmo que não saibamos qual é. Pode-se pensar nisso como os spins tendo alguma orientação real e bem definida no espaço, que não é conhecida por nós, mas que existe. Ou pode-se pensar nisso como um conjunto de informações ou instruções que determinam os resultados das medições ao longo de $x$, $y$, $z$, ou qualquer direção intermediária. Medir o spin do pósitron (digamos, ao longo de z) força-o a se orientar e alinhar na direção z ou -z. Isso não tem influência causal sobre o spin do elétron, embora saibamos que o spin do elétron começou oposto ao spin do pósitron, portanto, se o spin do pósitron for medido como +z, o spin do elétron é medido como -z. Além da condição inicial de instruções que conservam o momento angular (os spins sendo anti-alinhados), não há conexão entre os dois spins. Essa opção às vezes é chamada de "variáveis ocultas", como em: as projeções ao longo de diferentes eixos são determinadas, mas estão ocultas de nós.

Opção 2 (Born): Os spins estão ambos indeterminados em seus estados iniciais... não apenas desconhecidos, mas fisicamente indefinidos, sem orientação definida ou instruções sobre os resultados experimentais, até que sejam medidos. Medir o spin do pósitron "colapsa" o espaço de todas as possibilidades para um único estado determinado, seja ao longo do eixo +z ou -z. Essa medição do pósitron força o spin do elétron a também colapsar em uma projeção bem definida ao longo de z, exatamente oposta à do pósitron. Esse efeito ocorre distribuído pelo espaço entre o pósitron e o elétron. Isso foi chamado de "ação fantasmagórica à distância", mas poderíamos, de forma menos dramática, chamá-lo de "física não-local".

Verifique sua compreensão

Leia a pergunta abaixo, pense na sua resposta e, em seguida, clique no triângulo para revelar a solução.

Seria ótimo distinguir entre as opções de Einstein e de Born experimentalmente. Quais são alguns experimentos que produziriam os mesmos resultados independentemente de qual opção é verdadeira? Você consegue pensar em um experimento que produziria resultados diferentes para as duas opções? Nota: Seria muito impressionante se você conseguisse elaborar um experimento que produzisse resultados diferentes para as opções de Einstein e de Born; os seres humanos levaram décadas para chegar a um.

Resposta:

Mantendo o experimento descrito até agora (ou seja, sem spin líquido com o pósitron e o elétron anti-alinhados), a medição de ambos os spins ao longo de $\pm x$, $\pm y$, ou $\pm z$ sempre resultaria em sinais opostos devido à conservação do momento angular, independentemente de qual opção é correta. Medir o spin de uma partícula (digamos, o elétron) ao longo de uma direção (digamos, $+z$) significa que o spin da outra partícula, o pósitron, seria medido ao longo de $-z$. Se em vez disso você medir o spin do pósitron ao longo da direção $x$, será igualmente provável que saia $+x$ ou $-x$. Isso poderia ser porque é o que as instruções ocultas dizem (opção 1 de Einstein) ou porque a distribuição de probabilidade do spin do pósitron é atualizada após a medição do spin do elétron, e a nova distribuição de probabilidade é consistente com uma divisão 50-50 entre $\pm x$ (opção 2 de Born). Esses pontos são explicados em mais detalhes abaixo.

A resposta é apenas ligeiramente diferente se você considerar a desintegração de uma partícula com spin-1, de modo que as duas partículas emergentes (como o pósitron e o elétron) devem ter seus spins alinhados, em vez de anti-alinhados. Se um for medido ao longo de $+y$, uma medição da outra partícula ao longo do eixo $y$ também deve resultar em $+y$, e assim por diante. Como antes, isso poderia resultar de qualquer uma das opções.

O restante desta lição é dedicado a um experimento que pode distinguir entre as opções de Einstein e de Born, e portanto não entraremos em muitos detalhes aqui. No entanto, parte do truque é medir as duas partículas ao longo de direções diferentes (como $x$ e $z$, ou mesmo alguma direção entre os eixos cartesianos tradicionais). O restante vem da consideração cuidadosa da probabilidade precisa de obter diferentes resultados dadas as previsões da mecânica quântica e as das informações clássicas como nas variáveis ocultas.

Em qualquer uma das opções, se os dois observadores, Lucas e Rihanna, medirem ao longo do mesmo eixo, esperaríamos que eles obtivessem spins anti-alinhados, independentemente de qual opção é verdadeira. Para entender por quê, considere os diagramas abaixo.

A figura acima mostra a opção de Einstein. As direções dos spins são opostas e determinadas. Se medirmos ao longo do eixo $z$, um estará ao longo de $+z$, e o outro ao longo de $-z$. Não temos razão para supor que o pósitron estaria ao longo de $+z$ e o elétron ao longo de $-z$; a imagem apenas mostra que os spins serão medidos em direções opostas. Na verdade, um spin específico não precisa realmente ter uma componente de seu spin ao longo da direção eventualmente medida, no caso da opção de Einstein. A afirmação mais fraca da opção de Einstein é que existe algum conjunto de instruções armazenadas no spin que determinam quais serão os resultados das medições quando medido ao longo de qualquer eixo. Não precisamos imaginar que essas instruções estão na forma de um simples vetor (veja o diagrama abaixo); voltaremos a isso mais tarde.

A figura abaixo mostra a opção de Born, na qual as direções do spin do pósitron e do elétron estão distribuídas em uma distribuição de probabilidade e não têm direção definida. Não interprete demais a forma da distribuição. Cada spin poderia realmente ter uma probabilidade não nula de apontar em qualquer direção, contanto que sejam opostos entre si; simplesmente os desenhamos como frações do círculo para que possamos distingui-los visualmente para fins de discussão. Note que, no caso da opção de Born, ainda é verdade que o momento angular deve ser conservado. Portanto, se uma onda de probabilidade é "colapsada" de modo que o spin aponte ao longo de $+z$, o outro apontará ao longo de $-z$ e será deflectido na direção oposta. As opções parecem idênticas.

Mas o que acontece quando os observadores L e R podem medir ao longo de qualquer um dos três eixos, cada par a 120 graus de distância, como mostrado nas Figuras 4 e 5? Cada observador pode decidir aleatoriamente ao longo de qual eixo medirá o spin (a, b, ou c). Os dois não precisam medir ao longo do mesmo eixo. Quando cada observador mede, pode encontrar uma projeção positiva no eixo de sua escolha, ou pode encontrar uma projeção negativa. Por exemplo, Lucas e Rihanna poderiam medir +a e -b, ou +b e +c. Note que, se por acaso escolherem medir ao longo do mesmo eixo, eles DEVEM obter sinais opostos em suas projeções: +a e -a, +b e -b, ou +c e -c; eles não podem ambos encontrar, por exemplo, +a. Na próxima seção, trabalharemos como calcular a probabilidade de Lucas e Rihanna obterem o mesmo sinal nos eixos medidos (++ ou --) e sinais opostos (+-) ou (-+).

As duas figuras acima ilustram possíveis interpretações de variáveis ocultas nesse novo cenário de medição com três eixos. Ou seja, os spins já são determinados, como vetores, ou existe um conjunto de instruções físicas embutidas de alguma forma no sistema, de modo que os resultados de todas as medições possíveis são pré-determinados, mesmo que sejam incognoscíveis para os experimentadores antes da medição. A alternativa é ilustrada abaixo. Existe uma distribuição de probabilidade de resultados, e essa distribuição pode nos dizer algumas coisas sobre a probabilidade de diferentes resultados de medição, mas os resultados são indeterminados pela natureza antes da medição.

Podemos nos perguntar: "Com que frequência os dois participantes devem encontrar o mesmo sinal da projeção do spin?" Ou seja, não estamos sequer registrando ao longo de qual eixo eles escolheram medir; estamos simplesmente registrando se encontraram o mesmo sinal ou um sinal diferente. Não é óbvio se as opções de Einstein e de Born produzirão o mesmo resultado nesse esquema de medição mais complicado. Mas deve estar claro pelas Figuras 4 e 5 que é $possível$ que haja uma diferença. Para o caso mostrado na opção de Einstein, uma medição da projeção do spin do $e+$ no eixo $a$ definitivamente produzirá $+a$, e a projeção do spin do $e-$ no eixo $b$ produzirá $-b$ (por pouco). Mas na opção de Born, as possibilidades estão bem abertas. É verdade que o momento angular ainda é conservado. Mas como os dois campos magnéticos não estão orientados ao longo do mesmo eixo, forçamos as partículas a uma situação em que elas devem colapsar em eixos diferentes (por meio de interações com o campo). Na próxima seção, usaremos a mecânica quântica para determinar quais devem ser as probabilidades, dada a opção de Born, de que Lucas e Rihanna obtenham o mesmo sinal nos eixos medidos (++ ou --) e as probabilidades de que obtenham sinais opostos (+- ou -+).

Previsões

O que a opção de Einstein (variáveis ocultas) prevê?

Se a opção de Einstein for verdadeira, qualquer par dado de $e+$ e $e-$ terá um conjunto de componentes vetoriais em seus spins. Por exemplo, o elétron pode ter componentes $(+\hat{a},-\hat{b}, +\hat{c})$, caso em que o pósitron deve ter componentes $(-\hat{a},+\hat{b}, -\hat{c})$. Estamos especificando aqui apenas o sinal da projeção em cada eixo, não a magnitude. Imagine que permitimos que um número muito grande $N$ de tais desintegrações ocorra e coletamos medições para preencher a tabela abaixo.

População	Partícula 1	Partícula 2
$N_1$	$(+\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$	$(-\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$
$N_2$	$(+\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$	$(-\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$
$N_3$	$(+\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$	$(-\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$
$N_4$	$(+\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$	$(-\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$
$N_5$	$(-\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$	$(+\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$
$N_6$	$(-\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$	$(+\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$
$N_7$	$(-\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$	$(+\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$
$N_8$	$(-\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$	$(+\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$

Para cada caso na tabela acima, há 9 possíveis escolhas para os eixos de Lucas e de Rihanna: $aa$, $ab$, $ac$, $ba$, $bb$, $bc$, $ca$, $cb$ e $cc$. Lendo esta tabela, a probabilidade dos dois observadores medirem o mesmo sinal nas linhas 1 e 8 é zero. Para as linhas 2 a 7, há 4 maneiras de obter o mesmo sinal, o que mostraremos apenas para a linha 2:

Mesmos sinais: $ac$, $bc$, $ca$, $cb$ Sinais opostos: $aa$, $ab$, $ba$, $bb$, $cc$

Portanto, se a opção de Einstein for a interpretação correta dos estados quânticos, a probabilidade total somada sobre todas as populações possíveis de Lucas e Rihanna obterem o mesmo sinal de projeção de spin nos eixos escolhidos aleatoriamente seria: $P_\text{same}=\frac{1}{\sum_i{N_i}} \frac{4}{9} (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7)\leq \frac{4}{9}$ Onde a igualdade vale somente se $N_1=N_8=0$.

Verifique sua compreensão

Leia as perguntas abaixo, pense nas suas respostas e, em seguida, clique nos triângulos para revelar as soluções.

Para a linha 2 da tabela acima, listamos todas as formas possíveis de Lucas e Rihanna obterem o mesmo sinal para suas medições, e todas as formas em que poderiam obter sinais diferentes. Repita isso para a terceira linha.

Resposta:

Mesmos sinais: $ab$, $ba$, $bc$, $cb$

Sinais opostos: $aa$, $ac$, $bb$, $ca$, $cc$

A tabela acima se refere a "populações", o que significa que não sabemos quantos de cada tipo de instruções a natureza produz, caso o tratamento de variáveis ocultas esteja correto. Mostre que, independentemente da distribuição de $N_1$ a $N_8$, a probabilidade de obter o mesmo sinal das medições é sempre menor ou igual a 4/9.

Resposta:

Vamos começar assumindo um número constante de tentativas de medição totais, de modo que $\sum_i{N_i} = N_{tot}$ seja constante. Note que, no caso especial em que $N_1=N_8=0$, a expressão se reduz a

$$P_{same}=\frac{1}{N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7} \times \frac{4}{9} \times (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7) = \frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times N_{tot}= \frac{4}{9}$$

Agora suponha que $N_1 \neq 0$ ou $N_8 \neq 0$. Então

$$P_{same}=\frac{1}{N'_1+N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7+N'_8} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) = \frac{4}{9}$$

A soma de todas as tentativas, $N_tot$, ainda é a mesma de antes. Mas como $N'_1$ ou $N'_8$ aumentou de 0, a soma de $N'_2$ a $N'_7$ deve ser menor do que antes. Em particular, a soma de $N'_2$ a $N'_7$ é menor que $N_{tot}$. Portanto

$$P_{same}=\frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) < \frac{4}{9}$$

Combinando todos os casos possíveis, temos $P_{same} \leq \frac{4}{9}$.

Generalização

No tratamento acima, consideramos medições ao longo de eixos específicos. Claro, pode-se fazer medições ao longo de qualquer eixo. Vamos chamar os dois vetores de spin de duas partículas de $\vec{a}$ e $\vec{b}$. Seja $\lambda$ alguma variável oculta tal que um estado do sistema de duas partículas corresponde a um valor bem definido de $lambda$. Seja $\rho(\lambda)$ a densidade de probabilidade em $\lambda$. Por fim, escolhemos os símbolos $A(\vec{a},\lambda)$ e $B(\vec{b},\lambda)$ para representar o resultado pré-determinado de uma medição realizada em qualquer partícula (A ou B), dados os vetores de spin e a variável oculta. Crucialmente, note que $A$ é independente de $\vec{b}$ e $B$ é independente de $\vec{a}$. Pode-se agora formular qualquer número de perguntas relacionadas a correlações entre medições em A e B. Em particular, pode-se perguntar sobre o valor esperado dado por

$$E(\vec{a},\vec{b})\equiv\int{d\lambda \rho(\lambda)A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)}$$

Dadas algumas suposições padrão sobre esses valores, como $A(\vec{a},\lambda)\leq 1$, $B(\vec{b},\lambda)\leq 1$ e normalização sobre $\rho(\lambda)$, pode-se mostrar que as correlações entre as duas partículas obedecem à relação

$$|E(\vec{a},\vec{b})-E(\vec{a},\vec{d})|+|E(\vec{c},\vec{d})+E(\vec{c},\vec{b})|\leq 2,$$

onde $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são os estados de spin do seu sistema e $\vec{c}$ e $\vec{d}$ são estados de spin de referência (quaisquer outros estados de spin possíveis do sistema). Esta é uma das desigualdades de toda uma classe agora conhecidas como "desigualdades de Bell". Não usaremos essa forma geral aqui. Em vez disso, vamos nos concentrar em uma configuração experimental específica, para que possamos mapear essa configuração em um circuito quântico.

O que a opção de Born (mecânica quântica não-determinística) prevê?

Lucas escolherá algum eixo e encontrará o spin de uma partícula na direção positiva ou negativa. Seja o que for que ele obtenha, vamos orientar nossos eixos de modo que o eixo $z$ seja essa direção. Então podemos escrever o estado inicial após a desintegração do méson e antes de qualquer medição como

$$|\psi \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R)$$

Rihanna medirá o spin de sua partícula ao longo de alguma outra direção em um ângulo $\theta$ em relação à de Lucas. O operador de spin ao longo de uma direção arbitrária $\hat{n}$ é dado por

$$\hat{S}_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix}$$

Os autoestados desse operador são

$$|+\rangle_{\hat{n}}=\cos(\theta/2)|0\rangle+\sin(\theta/2)e^{i\phi}|1\rangle \\ |-\rangle_{\hat{n}}=\sin(\theta/2)|0\rangle-\cos(\theta/2)e^{i\phi}|1\rangle$$

Verifique sua compreensão

Leia as perguntas abaixo, pense nas suas respostas e, em seguida, clique nos triângulos para revelar as soluções.

Verifique que $|+\rangle_{\hat{n}}$ é um autoestado do operador $\hat{S}_{\hat{n}}$ acima e encontre o autovalor.

Resposta:

$$\hat{S}_{\hat{n}}|+\rangle_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi}\end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta)\cos(\theta/2) + \sin(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} e^{-i\phi} \\ \cos(\theta/2)\sin(\theta) e^{i\phi} -\cos(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

Usando $\cos(\theta)=\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)$ e $\sin(\theta)=2\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)$, temos

$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos(\theta) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

Isso demonstra que $|+\rangle_{\hat{n}}$ é um autoestado e o autovalor correspondente é $\frac{\hbar}{2}$.

A probabilidade de Lucas medir um spin na direção positiva ao longo do eixo que escolheu $|+\rangle$ $e$ que Rihanna também meça um spin positivo ao longo da direção escolhida por ela $|+\rangle_{\hat{n}}$ é

$$P_{++}=\left|\left(_L\langle+|_{R,\hat{n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$ $$P_{++}=\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(|+\rangle_L|-\rangle_R\right) \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\vphantom{p}_R\langle-|\right) |-\rangle_R \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

Verifique sua compreensão

Leia as perguntas abaixo, pense nas suas respostas e, em seguida, clique nos triângulos para revelar as soluções.

Faça o mesmo para $P_{--}$. Verifique que também é igual a $\frac{1}{2}\sin^2(\theta).$

Resposta:

$$P_{--}=\left|\left(_L\langle-|_{R,\hat{-n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$$$P_{--}=\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2) \vphantom{p}_R\langle+|\right) |+\rangle_R \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

Somando esses resultados, descobrimos que a probabilidade de os sinais dos dois eixos medidos serem iguais é $P_{\text{same}}=\sin^2(\theta/2)$.

Verifique sua compreensão

Leia a pergunta abaixo, pense na sua resposta e, em seguida, clique no triângulo para revelar a solução.

O que você poderia fazer para verificar a matemática desse resultado? Para deixar claro, não estamos pedindo que você verifique ainda se ele corresponde à natureza, apenas que se certifique de que nada deu errado em toda a matemática.

Resposta:

(1) Faça o mesmo cálculo para $P_{\text{diff}}=\cos^2(\theta/2)$ para verificar a conservação de probabilidade.

(2) Verifique um caso conhecido. Insira $\theta = 0$. Então $P_{\text{same}}$ corresponde aos dois observadores medindo seu spin ao longo do mesmo eixo, o que violaria a conservação do momento angular. Portanto, você esperaria que essa probabilidade fosse zero, e de fato, inserindo $\theta = 0$, obtemos $\sin^2(0/2) = 0$.

(3) Verifique um caso diferente conhecido. Tente $\theta = \pi$. O que você deveria obter? Cuidado com esse $\frac{1}{2}$.

Estávamos especificamente esboçando o caso em que os eixos estão a $120\deg$ uns dos outros. Lembre-se: qualquer que seja a direção ($\pm a$, $\pm b$, ou $\pm c$) que Lucas obtenha, chamamos isso de $z$. Então Rihanna escolhe aleatoriamente medir ao longo de $\pm a$, $\pm b$, ou $\pm c$. Se a escolha dela for a mesma que a de Lucas (com diferença de sinal), então ambos estão medindo ao longo de $z$, e a probabilidade de Rihanna também medir $+z$ é zero. Isso deve acontecer 1/3 das vezes, já que a escolha de eixo de Rihanna é independente da de Lucas. Para qualquer outra escolha, Rihanna estará medindo ao longo de um eixo a $120\deg = 2\pi/3$ radianos de $z$ (1/3 das vezes) ou a $240\deg = 4\pi/3$ radianos de $z$ (1/3 das vezes). E, claro, ao longo de qualquer um desses eixos, o spin pode ser medido na direção positiva ou negativa. Isso nos dá uma probabilidade total de Lucas e Rihanna obterem o mesmo sinal:

$$P_{\text{same}} = \frac{1}{3}\left( 0 + \sin^2(\pi/3) + \sin^2(2\pi/3) \right) = \frac{1}{3}\left( 0 + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \right) = \frac{1}{2}$$

Uau

Acabamos de mostrar que

$$(P_\text{same})_\text{max, Einstein}<(P_\text{same})_\text{max, Born}.$$

Vamos dar um passo atrás.

As opções de Einstein e de Born pareciam que sempre produziriam os mesmos resultados, já que diferiam apenas em sua descrição do que acontece antes da medição. E ainda assim, assumindo que havia instruções que pré-determinavam o sinal da medição de spin ao longo de certos eixos, obtivemos uma restrição sobre a probabilidade de as medições produzirem o mesmo sinal $(P_{\text{same}})_\text{Einstein}\leq\frac{4}{9}$. Então assumimos distribuições de probabilidade como na mecânica quântica... e obtivemos um valor diferente para $(P_{\text{same}})_\text{Born}=\frac{1}{2}$. A previsão da mecânica quântica é maior do que o permitido pelo tratamento de variáveis ocultas. Portanto, podemos realmente fazer um experimento e descobrir se os estados mecânico-quânticos são determinados pela natureza antes da medição, ou se estão verdadeiramente em uma superposição probabilística de possíveis estados.

Este experimento foi feito muitas vezes usando muitos sistemas físicos diferentes, frequentemente fótons. Há muitas considerações sutis, como vieses nas medições, o tempo (simultaneidade) das medições, e muitas outras. Ao longo das décadas, as preocupações com essas sutilezas foram sendo gradualmente eliminadas. Os testes ainda são implementados à medida que aprendemos mais sobre a realidade, mas agora há amplo consenso de que a resposta que você obterá aqui, usando computadores quânticos da IBM®, está correta.

Teste usando computadores quânticos reais!

De acordo com o tratamento acima, vamos definir a direção da medição de Lucas como $+z$. Isso foi conveniente mesmo na abordagem algébrica, mas é especialmente conveniente para a computação quântica, já que o que normalmente é medido é a projeção do qubit ao longo de $z$. Queremos criar um circuito quântico que nos forneça as mesmas condições de probabilidade descritas acima para $P_{++}$. Somos livres para orientar nosso plano de forma que $\phi=0$, e obtemos

$$P_{++}=\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$

Precisamos saber algumas coisas sobre os computadores quânticos da IBM para orientar nossa discussão. Primeiramente, os qubits começam inicializados no estado $|0\rangle = |+\rangle_z$. Como mencionado anteriormente, quando as medições são feitas, elas ocorrem ao longo do eixo $z$. Portanto, o objetivo é determinar quais operadores podemos inserir entre os estados de base de medição $\langle 0|\langle 0|$ e os estados iniciais dos qubits $|0\rangle |0\rangle$ para obter a expressão complexa acima. Para isso, precisaremos revisar algumas portas básicas em computação quântica.

Porta $X$: Equivalente a uma operação NOT. Porta de um único qubit.

$$X|0\rangle = |1\rangle,\\X|1\rangle=|0\rangle$$ $$X=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

No Qiskit, criar um circuito com uma porta $X$ fica assim:

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(1)
qc.x(0)
qc.draw("mpl")

Porta Hadamard $H$: Cria um estado de superposição. Porta de um único qubit.

$$H|0\rangle = \frac{1}{2}\left(|0\rangle+|1\rangle\right),$$ $$H|1\rangle = \frac{1}{2}\left(|0\rangle-|1\rangle\right)$$ $$H=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

Um circuito com uma porta Hadamard é criado da seguinte forma:

qc = QuantumCircuit(1)
qc.h(0)
qc.draw("mpl")

Porta CNOT (NOT Controlado): Esta porta utiliza dois qubits: um de controle e um alvo. Ela verifica o estado de um qubit de controle, que não é alterado. Porém, se o qubit de controle estiver no estado $|1\rangle$, a porta modifica o estado do qubit alvo; se o estado do qubit de controle for $|0\rangle$, nenhuma alteração é feita. Na notação abaixo, suponha que o primeiro qubit é o de controle e o segundo é o alvo.

$$CNOT|00\rangle = |00\rangle, \\ CNOT|01\rangle = |01\rangle \\ CNOT|10\rangle = |11\rangle \\ CNOT|11\rangle = |10\rangle$$

Uma porta CNOT parece um pouco diferente em um circuito, pois requer dois qubits. Veja como ela é implementada:

qc = QuantumCircuit(2)
qc.cx(0, 1)
qc.draw("mpl")

Observe que o primeiro qubit listado em qc.cx(0,1) é o de controle, e o segundo é o alvo. Diagramaticamente, o alvo é aquele com o sinal "+" ou o círculo cruzado.

Porta de Rotação Y $R_y(\theta)$: Rotaciona o estado em torno do eixo y. Esta é uma porta de um único qubit.

$$R_y(\theta)|0\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle+\sin(\theta/2)|1\rangle,\\R_y(\theta)|0\rangle = -\sin(\theta/2)|0\rangle+\cos(\theta/2)|1\rangle$$ $$R_y(\theta)=\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{bmatrix}$$

Por fim, as portas de rotação são implementadas especificando o tipo de porta, o ângulo de rotação e o qubit no qual a porta é aplicada, nessa ordem:

import numpy as np

pi = np.pi

qc = QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi / 2, 0)
qc.draw("mpl")

O nome da porta ry especifica o eixo em torno do qual a rotação ocorre. O primeiro argumento $\pi/2$ refere-se à quantidade de rotação, e o segundo argumento especifica o qubit no qual a porta deve ser aplicada.

Verifique sua compreensão

Leia a(s) pergunta(s) abaixo, pense na sua resposta e clique no triângulo para revelar a solução.

Usando a sintaxe apresentada ou revisada acima, crie qualquer circuito quântico envolvendo quatro tipos diferentes de portas quânticas.

Resposta:

Há, claro, infinitas possibilidades. Aqui está um exemplo:

qc=QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi/2,0)
qc.cx(1,0)
qc.x(1)
qc.h(0)
qc.cx(0,1)
qc.draw("mpl")

Do experimento físico aos circuitos quânticos

A partir das operações dessas portas, podemos ver, por exemplo, que os kets nas expressões para $P_{++}$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$$

provavelmente envolvem uma porta Hadamard para obter a superposição e uma porta CNOT para criar o entrelaçamento.

Vamos agora usar as portas H, X e CNOT para transformar $|0\rangle_L|0\rangle_R$ em $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_L|1\rangle_R-|1\rangle_L|0\rangle_R\right)$$ $$\frac{1}{\sqrt{2}}CNOT_{LR}\left(|0\rangle_L|1\rangle_R-|1\rangle_L|1\rangle_R\right)$$

Aqui $CNOT_{LR}$ significa uma porta CNOT usando L como controle e R como alvo. Podemos agora fatorar a parte R do estado:

$$\text{CNOT}_{LR}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_L-|1\rangle_L\right)|1\rangle_R$$ $$\text{CNOT}_{LR} H_L|1\rangle_L|1\rangle_R$$ $$\text{CNOT}_{LR} H_L X_L X_R|0\rangle_L|0\rangle_R$$

Agora escrevemos o ket inteiramente como portas quânticas atuando sobre o estado inicial padrão dos qubits.

Agora podemos usar o $R_y(\theta)$ atuando sobre $\vphantom{p}_L\langle 0|_R\langle 1|$ para obter o bra na expressão para $P_{++}$.

$$\vphantom{p}_L\langle0|_R\left(\cos(\theta/2)\langle0|+\sin(\theta/2)\langle1|\right)$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|_R\left(|0\rangle \cos(\theta/2)+|1\rangle \sin(\theta/2)\right)^{\dagger}$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|\left(R_{y,R}(\theta)|0\rangle_R\right)^{\dagger}$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|_R\langle0|R_{y,R}(-\theta)$$

Combinando esses resultados, podemos escrever a probabilidade $P_{++}$ como

$$p_{++}=\left|\vphantom{p}_L\langle0|_R\langle0|R_{y,R}(-\theta)\text{CNOT}_{LR} H_L X_L X_R|0\rangle_L|0\rangle_R\right|^2$$

Isso nos dá instruções explícitas de como construir nosso circuito quântico. Aplicaremos as portas X, H, CNOT e $R_y$ a qubits que representam os estados quânticos das partículas medidas por Lucas e Rihanna, e realizaremos medições para obter a probabilidade.

A IBM Quantum recomenda abordar problemas de computação quântica usando um framework que chamamos de padrões Qiskit. Ele consiste nas seguintes etapas.

• Etapa 1: Mapeie seu problema para um circuito quântico
• Etapa 2: Otimize seu circuito para rodar em hardware quântico real
• Etapa 3: Execute seu job em computadores quânticos IBM usando Primitivas de Runtime
• Etapa 4: Pós-processe os resultados

Basicamente todo o trabalho que fizemos acima foi a Etapa 1. Vamos construir o circuito resultante usando o Qiskit!

Etapa 1: Mapeando nossos resultados para um circuito quântico

# We'll begin by importing qiskit and a visualization module so that we can plot a histogram of our results.

from qiskit.visualization import plot_histogram

Lembre-se de que 1/3 das vezes o eixo de escolha de Rihanna estará a $2\pi/3$ radianos do de Lucas, 1/3 das vezes estará a $4 \pi/3$ radianos do de Lucas, e 1/3 das vezes eles escolherão o mesmo eixo. Portanto, precisamos criar 3 circuitos quânticos para esses 3 casos e somar os resultados. Vamos explicar cuidadosamente o primeiro, e os dois últimos simplesmente enunciaremos.

# We start by declaring our first quantum circuit, and giving it two qubits (the first "2") and two classical bits for storing outputs (the second "2")
# Define registers
from qiskit import ClassicalRegister, QuantumRegister

qr = QuantumRegister(2, "q")
cr = ClassicalRegister(2, "c")
qc1 = QuantumCircuit(qr, cr)

# We know from our analysis above that we need an X gate acting on each of the qubits (L and R)
qc1.x([0, 1])
# We need a Hadamard gate acting on Lucas's qubit, which we're calling the 0th qubit.
qc1.h(0)
# The controlled-NOT gate uses the 0th qubit (Lucas's) as the control and the 1st qubit (Rihanna's) as the target.
qc1.cx(0, 1)
# The rotation gate acts on the 1st qubit (Rihanna's) and has an argument of -2 pi/3
qc1.ry(-2 * pi / 3, 1)
# Finally, we want to measure all the qubits in the circuit to obtain measurement probabilities, and store the results in the classical bits.
qc1.measure([0, 1], [0, 1])
# Now we can draw the first of the three circuits that will check Bell's inequality for us.
qc1.draw(output="mpl")

O código abaixo constrói rapidamente todos os três circuitos de maneira mais simplificada. Observe que a única diferença entre os três circuitos é o quanto rotacionamos os dois qubits em torno do eixo $y$.

qcs = [QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2)]
for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].x([0, 1])
    qcs[i].h(0)
    qcs[i].cx(0, 1)

qcs[0].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[1].ry(-4 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-4 * pi / 3, 1)

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].barrier()
    qcs[i].measure([0, 1], [0, 1])

counts_list = [None] * len(qcs)

qcs[0].draw(output="mpl")

Agora vamos usar uma primitiva do Qiskit chamada StatevectorSampler. Um sampler é uma primitiva projetada para amostrar todos os estados possíveis de um sistema e retornar probabilidades (ou, em alguns casos, quase-probabilidades) de obter cada estado. Podemos especificar um número de "shots" e observar as "contagens" para cada estado.

from qiskit.primitives import StatevectorSampler

sampler = StatevectorSampler()

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
for i in range(0, len(qcs)):
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result = job.result()
    data_pub = result[0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    counts_list[i] = counts
#    plot_histogram(counts)

Se olharmos as contagens de cada circuito, veremos que duas delas foram basicamente idênticas e a terceira foi bem diferente.

plot_histogram(counts_list)

Vamos criar uma lista dos possíveis resultados e somar todas as contagens de cada estado provenientes de cada um dos três circuitos para obter probabilidades globais.

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    total_counts[outcomes[i]] = sum(
        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

Agora podemos imprimir as contagens totais para cada resultado e plotar o histograma.

print(total_counts)
plot_histogram(total_counts)

{'00': 7493, '01': 7432, '10': 7605, '11': 7470}

Verifique sua compreensão

Leia a(s) pergunta(s) abaixo, pense na sua resposta e clique no triângulo para revelar a solução.

A imagem acima é consistente com os resultados previstos por variáveis ocultas e determinismo? Ou é consistente com a mecânica quântica probabilística (e não-local)?

Resposta:

É consistente com a mecânica quântica probabilística e não-local. O tratamento de variáveis ocultas previa que a probabilidade de obter o mesmo sinal era menor ou igual a 4/9. A mecânica quântica previu uma probabilidade de 50%. O histograma acima descreve uma probabilidade de 00 ou 11 igual a 49,97%. Isso está muito próximo da previsão da mecânica quântica probabilística, mas, o mais importante, é maior do que o intervalo permitido no tratamento de variáveis ocultas.

Isso prova algo sobre a natureza?

Resposta:

Não! Estávamos usando um simulador! Ou seja, um computador programado para se comportar de acordo com as leis da mecânica quântica probabilística. Se propomos uma regra e depois programamos um computador para seguir essa regra, a capacidade do computador de seguir a regra não é prova de que a regra está correta! A única forma de provar isso é usar um computador quântico real!

Etapa 2: Otimize seu circuito quântico para rodar em hardware real

Embora inicialmente tenhamos usado um simulador para depurar nosso código, queremos mesmo é rodar em hardware real. Afinal, um simulador está apenas fingindo ser quântico-mecânico, com base nas equações acima. Se o simulador nos dissesse que essas equações estão corretas, isso não nos convenceria muito. Queremos que um computador quântico real nos diga o que está acontecendo! Então vamos selecionar o computador quântico que queremos usar. Às vezes pode ser importante escolher um dispositivo específico com propriedades desejadas, mas frequentemente simplesmente queremos usar o dispositivo menos ocupado.

Há um código abaixo para salvar suas credenciais no primeiro uso. Certifique-se de excluir essas informações do notebook após salvá-las em seu ambiente, para que suas credenciais não sejam compartilhadas acidentalmente ao compartilhar o notebook. Consulte Configure sua conta IBM Cloud e Inicialize o serviço em um ambiente não confiável para mais orientações.

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

# Syntax for first saving your token. Delete these lines after saving your credentials.
# QiskitRuntimeService.save_account(channel='ibm_quantum_platform', instance = '<YOUR_IBM_INSTANCE_CRN>', token='<YOUR-API_KEY>', overwrite=True, set_as_default=True)
# service = QiskitRuntimeService(channel='ibm_quantum_platform')

# Load saved credentials
service = QiskitRuntimeService()

backend = service.least_busy(
    operational=True, min_num_qubits=qcs[0].num_qubits, simulator=False
)

from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

qcs_isa = qcs

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs_isa[i] = pm.run(qcs[i])
    qcs_isa[i].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

qcs_isa[2].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

Etapa 3: Execute seu job em computadores quânticos IBM usando Primitivas de Runtime

Agora que otimizamos nossos circuitos para rodar em hardware quântico real e depuramos nosso código usando simuladores, estamos prontos para coletar estatísticas de um computador quântico real e resolver o desacordo entre Einstein e Born.

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler
# from qiskit_ibm_runtime import Session
# sampler.options.default_shots = 1000

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
# The best practice is to use a session as shown below. This is available to Premium Plan, Flex Plan, and On-Prem (IBM Quantum Platform API) Plan users.
# result_list = [None] * len(qcs)
# real_counts_list = [None] * len(qcs)
# with Session(backend=backend) as session:
#    sampler = Sampler(mode=session)

#    for i in range(0, len(qcs)):
#        # Define the primitive unified bloc (pub)
#        pub = qcs[i]
#        job = sampler.run([pub], shots=10000)
#        # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#        result_list[i] = job.result()
#        data_pub = result_list[i][0].data
#        counts = data_pub.c.get_counts()
#        real_counts_list[i] = counts
#    #   plot_histogram(counts)

# Open users can still carry out this experiment, but without reserving a session of use, meaning repeated queuing is possible.
from qiskit_ibm_runtime import Batch

batch = Batch(backend=backend)
sampler = Sampler(mode=batch)

result_list = [None] * len(qcs)
real_counts_list = [None] * len(qcs)

for i in range(0, len(qcs)):
    # Define the primitive unified bloc (pub)
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result_list[i] = job.result()
    data_pub = result_list[i][0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    real_counts_list[i] = counts

# Close the batch because no context manager was used.
batch.close()

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if real_counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            real_counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

real_total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    real_total_counts[outcomes[i]] = sum(
        real_counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

print(real_total_counts)
plot_histogram(real_total_counts)

{'00': 7542, '01': 7503, '10': 7304, '11': 7651}

# This syntax allows you to run the job on a simulator, in case you have exhausted your allotted time on real IBM quantum computers.
# But we strongly advise running this on real quantum computers, since this is meant to be a check of the behavior of real quantum systems.

# This uses a local simulator
# from qiskit_aer import AerSimulator

# This generates a simulator that mimics the real quantum system
# backend_sim = AerSimulator.from_backend(backend)

# Import an estimator, this time from qiskit (we import from Runtime for real hardware)
# from qiskit.primitives import BackendSamplerV2
# sampler = BackendSamplerV2(backend = backend_sim)

# result_list = [None] * len(qcs)
# counts_list = [None] * len(qcs)
# for i in range(0, len(qcs)):
# Define the primitive unified bloc (pub)
#    pub = qcs[i]
#    job = sampler.run([pub], shots=10000)
# Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#    result_list[i] = job.result()
#    data_pub = result_list[i][0].data
#    counts = data_pub.c.get_counts()
#    counts_list[i] = counts

# data_pubs = (result_list[0][0].data,result_list[1][0].data,result_list[2][0].data)
# outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

# for i in range(0, len(qcs)):
#    for j in range(0, len(outcomes)):
#        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
#            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

# total_counts = {}
# for i in range(0, len(outcomes)):
#    total_counts[outcomes[i]] = sum(
#        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
#    )

# print(total_counts)
# plot_histogram(total_counts)

counts_list

[None, None, None]

Etapa 4: Pós-processamento e análise

Vamos dar um passo atrás e recapitular: usando um tratamento de variáveis ocultas e os 3 eixos deslocados, obtivemos uma restrição sobre a probabilidade de as medições resultarem no mesmo sinal $P_{same,hv} =4/9$. Em seguida, assumimos distribuições de probabilidade conforme a mecânica quântica e obtivemos um valor diferente para essa probabilidade: $P_{same,gm} = 1/2$. A previsão da mecânica quântica é maior do que a permitida pelo tratamento de variáveis ocultas. Portanto, é possível determinar experimentalmente se os estados quânticos são determinados pela natureza antes da medição ou se estão verdadeiramente em uma superposição probabilística de estados possíveis.

Projetamos nossos circuitos quânticos de forma que haja quatro resultados possíveis correspondentes a Lucas e Rihanna medindo um sinal ou outro da projeção de spin: 00, 01, 10 e 11. Nos casos de 00 e 11, Lucas e Rihanna medem o mesmo sinal; nos casos de 01 e 10, eles medem sinais opostos. Observamos que, com uma boa aproximação, a chance de Lucas e Rihanna obterem o mesmo sinal é de cerca de 50%, definitivamente maior que $4/9$. Isso significa que não existe nenhum conjunto de variáveis ocultas capaz de explicar essa distribuição de probabilidades, e o tratamento de variáveis ocultas não é compatível com o experimento.

Existem diferentes interpretações dos resultados experimentais da mecânica quântica, e há muitas sutilezas nas configurações experimentais que são revisitadas periodicamente. Mas até agora os princípios da mecânica quântica e a interpretação probabilística dos estados quânticos descreveram com precisão os resultados. Max Born parece ter estado correto.

Vamos apenas mais um momento para refletir sobre a importância disso. Duas partículas emergem de um evento de decaimento, e as duas partículas viajam em direções diferentes, possivelmente por muito tempo. Seus spins não estão em nenhum estado bem definido, e elas não carregam instruções de variáveis ocultas para determinar os resultados de medições futuras. Mas uma medição em uma delas (ao longo, digamos, de $+z$) necessariamente determina o resultado de um experimento no spin da outra partícula ao longo da direção $z$ (deve ser $-z$). Isso significa que algo sobre a física de uma partícula é determinado pelo que é feito com a outra partícula, possivelmente muito longe. Esta é uma das situações que levou as pessoas a se referirem à realidade como sendo "não-local".

Duas partículas como as que estivemos descrevendo estão de alguma forma "conectadas" no sentido de que medições em uma podem influenciar a outra. Referimo-nos a tais partículas como estando "entrelaçadas". O entrelaçamento é mais do que apenas correlações. Por exemplo, poderíamos construir uma máquina clássica que lança um ímã para um lado com sua extremidade norte voltada para cima e um ímã para o outro lado com sua extremidade norte voltada para baixo. Esses ímãs poderiam ser perfeitamente anti-correlacionados. Mas uma medição em um não faria nada ao outro. No entrelaçamento quântico-mecânico, a partícula A pode estar em um estado indefinido (ou uma mistura de muitos estados), e podemos fixá-la em um estado definido por meio de medições em uma partícula totalmente diferente (digamos, B). Nada parecido existe no mundo clássico.

Isso frequentemente abre um mundo inteiramente novo de questões e possibilidades. Algumas das ideias que isso evoca são reais, como usar o entrelaçamento para computar, como em computadores quânticos! Algumas são enganosamente atraentes, mas acabam falhando, como tentar usar o entrelaçamento para enviar informações mais rápido que a luz. Encorajamos você a fazer todas as perguntas que surgirem e a ler sobre como outros investigaram esses fenômenos. Há um mundo inteiro de mecânica quântica para explorar, mas aqui estão apenas alguns recursos que você pode conferir:

Cursos IBM Quantum:

• Computação quântica na prática
• Fundamentos de informação quântica

Artigos interessantes de mecânica quântica:

• Paradoxo Einstein Podolsky e Rosen
• Artigo original de John Bell de 1964
• Artigo de 2019 sobre capturar e reverter um "salto quântico" durante a transição

Alguns recursos educacionais de mecânica quântica:

• Materiais do curso Quantum I da Universidade do Colorado.

Algumas pesquisas educacionais em mecânica quântica:

• Revisão das dificuldades dos estudantes em mecânica quântica de nível avançado por C. Singh e E. Marshman

Questões

Instrutores podem solicitar versões desses notebooks com gabaritos e orientações sobre a inserção em currículos comuns preenchendo esta pesquisa rápida sobre como os notebooks estão sendo usados.

Conceitos fundamentais:

• Houve uma divergência histórica sobre se os estados quânticos eram meramente desconhecidos ou indeterminados pela natureza antes da medição, ou seja, se a mecânica quântica é determinística ou probabilística.
• Variáveis ocultas e, portanto, o realismo local não são consistentes com as observações da mecânica quântica. Ou seja, as correlações observadas na mecânica quântica não podem ser explicadas por variáveis bem definidas que simplesmente nos são desconhecidas.
• A mecânica quântica é probabilística.
• O entrelaçamento é real e observável.
• O entrelaçamento não é apenas correlações.
• Podemos mapear cenários do mundo real para computadores quânticos.
• Variáveis ocultas refere-se a quantidades especificadas pela natureza, mas desconhecidas pelos humanos; elas não existem neste contexto.

Questões V/F:

1. V/F Albert Einstein argumentou que a mecânica quântica era incompleta, como teoria, porque descrevia apenas probabilidades de resultados e não o mecanismo subjacente que determinava esses resultados.
2. V/F "Variáveis ocultas" refere-se à ideia de que duas partículas quântico-mecânicas podem estar entrelaçadas.
3. V/F Quaisquer dois sistemas correlacionados estão entrelaçados quântico-mecanicamente.
4. V/F O entrelaçamento quântico-mecânico é importante para acertar a matemática, mas não pode ser observado em um experimento.
5. V/F Na maioria dos casos, a mecânica quântica não pode dizer o resultado exato de um experimento, apenas as probabilidades de que certos resultados serão medidos.
6. V/F Na mecânica quântica, sob certas condições, o estado da partícula A pode ser afetado pelo estado da partícula B, mesmo que as partículas A e B não estejam em contato e não troquem nenhuma partícula.
7. V/F Podemos mapear experimentos do mundo real para circuitos quânticos.

Questões de múltipla escolha:

1. Suponha que uma partícula de spin-0 decaia em duas partículas de spin-1/2, A e B. Uma medição é feita na partícula A que revela que seu spin tem uma projeção ao longo de $+z$. A partícula B agora

   • a. definitivamente tem uma projeção de spin ao longo de $-z$
   • b. definitivamente tem uma projeção de spin ao longo de $-x$
   • c. definitivamente tem uma projeção de spin ao longo de $-y$
   • d. definitivamente tem uma projeção de spin negativa ao longo de qualquer eixo medido.

2. Uma partícula de spin-0 decai em duas partículas de spin-1/2, A e B. Se a partícula A for medida com uma projeção ao longo de $+z$, quais das projeções a seguir são possíveis para uma medição da partícula B? Marque todas as que se aplicam.

   • a. $+x$
   • b. $-x$
   • c. $+y$
   • d. $-y$
   • e. $+z$
   • f. $-z$

3. Suponha que uma partícula de spin-0 decaia em duas partículas de spin-1/2, A e B. O que melhor descreve o estado da partícula A antes de qualquer medição.

   • a. O spin da partícula A está ao longo de $+z$.
   • b. O spin da partícula A está ao longo de $-z$.
   • c. O spin da partícula A está ao longo de $+x$.
   • d. O spin da partícula A é definido ao longo de algumas direções, mas não de outras.
   • e. A orientação do spin da partícula A é indeterminada pela natureza antes de qualquer medição.

4. Qual(is) das seguintes afirmações é/são verdadeira(s) sobre a porta Hadamard? Selecione todas as que se aplicam.

   • a. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$
   • b. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=|0\rangle$
   • d. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)=|0\rangle$

5. Qual(is) das seguintes afirmações é/são verdadeira(s) sobre a porta X? Selecione todas as que se aplicam.

   • a. $X|0\rangle = |1\rangle$
   • b. $X|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $X|0\rangle = -|0\rangle$
   • d. $X|1\rangle = |0\rangle$
   • e. $X\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=X\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle-|0\rangle)$

6. Qual das seguintes é uma porta de dois qubits?

   • a. X
   • b. $R_y(\theta)$
   • c. H
   • d. CNOT

7. Suponha que um qubit esteja no estado $|0\rangle$. Qual é a probabilidade de medi-lo no estado $|1\rangle$?

   • a. Exatamente 100% em um simulador sem ruído, próximo de 100% em um computador quântico real
   • b. Próximo de 100% em um simulador sem ruído, exatamente 100% em um computador quântico real
   • c. Exatamente 0% em um simulador sem ruído, próximo de 0% em um computador quântico real
   • d. Próximo de 0% em um simulador sem ruído, exatamente 0% em um computador quântico real

Questões para discussão:

1. Os amigos A, B e C estão discutindo resultados deste laboratório, relacionados à Desigualdade de Bell. Especificamente, eles estão observando a imagem que mostra que a probabilidade quântico-mecânica de medir o mesmo sinal ao longo dos eixos é maior do que a permitida por um tratamento de variáveis ocultas: $(P_\text{same})_\text{max,QM}>(P_\text{same})_\text{max,HV}$. O amigo A diz: "Isso significa que não sabíamos os estados de spin antes de uma medição." O amigo B diz: "Não, é mais do que isso. Isso significa que os spins não estavam apontando em uma direção específica antes da medição. Embora o estado de spin possa de alguma forma ser determinado ou armazenado de outra forma." O amigo C diz: "Não, é ainda mais do que isso. Isso significa que o estado de spin futuro não foi sequer decidido pela natureza antes da medição." Com quem você concorda, e por quê?

2. Explique como fenômenos quântico-mecânicos como o entrelaçamento indicam que a realidade é não-local.

3. Que experimentos adicionais você gostaria de realizar para se convencer dos resultados obtidos aqui?